2025中国科技大学少年班/创新试点班·初试备考测试卷（数学）

本卷考查内容：高中课程内容及拓展。
本卷考查形式：书面作答（客观题18小题+解答题4题）。
卷首语：中科大少年班、创新班每年大规模招录在数理成绩优异的中学学生。其中初试数学题在高考基础上略有拓展，难度又低于联赛一试，考法灵活，需要考生极其深刻的洞察力和问题分析能力。本卷仿往年真题卷而命制，但不拘泥于形式，希望在考生的备考过程中起到良好作用。

---

一、填空题（共18小题）

1、设 $x=2025^{2025}$，则 $\lg \lg \lg x^{\lg x}-\lg \lg x^{\lg \lg x}$+$\lg x^{\lg \lg \lg x}-x^{\lg \lg \lg \lg x}=$___.
【答案】0

2、不等式 m i n { sin ⁡ x , cos ⁡ x } < m i n { 1 − sin ⁡ x , 1 − cos ⁡ x } min\lbrace\sin x,\cos x \rbrace\lt min\lbrace1-\sin x,1-\cos x\rbrace min{sinx,cosx}<min{1−sinx,1−cosx} 的解集为___.
【答案】 { x ∣ − 3 π 2 + 2 k π < x < 2 k π , k ∈ Z } \lbrace x|-\frac{3\pi}{2}+2k\pi\lt x\lt 2k\pi,k\in Z\rbrace {x∣−23π​+2kπ<x<2kπ,k∈Z}

3、点 $P$ 在 $x$ 轴上运动，已知点 $A(0,1)、B(1,-2)、C(4,3)$，则 $\left|PA\right|+\left|PB\right|+\left|PC\right|$ 的最小值为___.
【答案】$2+4\sqrt{2}$

4、已知圆锥的表面积为 $\pi$，则其体积的最大值为____.
【答案】$\frac{\sqrt{2}}{12}\pi$

5、设 $A,B$ 是随机事件，则 $\left|P(AB)-P(A)P(B)\right|$ 的最大值为___.
【答案】$\frac{1}{4}$

6、设 $A,B$ 是随机事件且 $P(A|B)+P(B|C)+P(C|A)=1$，则 $P(A)+P(B)+P(C)$ 的取值范围为___.
【答案】$(0,2)$

7、已知点 $A(-1,0),B(1,0),C(0,1)$，直线 $y=kx+b(k>0)$将 $△ABC$ 分割为面积相等的两部分，则 $b$ 的取值范围为___.
【答案】$(1-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2})$

8、已知实数 $0<b<1$，$0<a<\frac{\pi }{4}$，$x=(\sin a{)}^{{\log }_b\sin a}$，$y=(\cos a{)}^{{\log }_b\cos a}$，$z=(\sin a{)}^{{\log }_b\cos a}$，$w=(\cos a{)}^{{\log }_b\sin a}$，试比较 $x,y,z,w$ 的大小关系：___.
【答案】$x<z=w<y$

9、把一根绳子随机分成三段，则这三段能构成三角形的概率是___.
【答案】$\frac{1}{4}$

10、一个正方体的展开图共有___种.（旋转、翻转后全等的图形视作一种）
【答案】11

11、若方程 $\sin (a\cos x)=\cos (b\sin x)$ 无实根，则 $a^2+b^2$ 的取值范围为___.
【答案】$[0,\frac{{\pi }^2}{4})$

12、设 $a_1,a_2,\cdots ,a_{2025}$ 和 $b_1,b_2,\cdots ,b_{2025}$ 是4050个不等实数，则两函数 $y=\left|x-a_1\right|+\left|x-a_2\right|+\cdots +\left|x-a_{2025}\right|$ 与 $y=\left|x-b_1\right|+\left|x-b_2\right|+\cdots +\left|x-b_{2025}\right|$ 的图象至多有___个公共点。
【答案】2025

13、半径为 1 的小球在棱长为 $4\sqrt{6}$ 的四面体容器内自由关东，则小球不可能接触到的容器内壁的面积为___.
【答案】$72\sqrt{3}$

14、点 $A,B,C(A\ne B\ne C)$ 在抛物线 $y=x^2$ 上，$R$ 为 $△ABC$ 的外接圆半径，则 $R$ 的取值范围为___.
【答案】$(\frac{1}{2},+\infty )$

15、已知函数 $f:R_{+}⟶R_{+}$ 单调，且对任意 $x,y\in R_{+}$，$xf(y)-yf(x)\ge (x^2-y^2)f(x)f(y)$，则 $f(1\times 2)+f(2\times 3)+\cdots +f(2024\times 2025)$ 的值为____.
【答案】$\frac{2024}{2025}$

16、设集合 $A、B、C$ 满足 A ∪ B ∪ C = { 1 , 2 , ⋯   , 2025 } A\cup B\cup C=\lbrace1,2,\cdots,2025\rbrace A∪B∪C={1,2,⋯,2025}，则满足条件的有序集合对 $(A,B,C)$ 共有___对。
【答案】$7^{2025}$

17、设 $a$ 为空间内一平面，一个棱长为 1 的正方体在 $a$ 上的投影为 $S$，则 $S$ 的最大值为___.
【答案】$\sqrt{3}$

18、一次变换可以调换字母串中相邻两个字母额顺序，譬如一次变换：$AB⟶BA,ABC⟶ACB$，则要将 $ABCDEFG$ 变成 $GFEDCBA$ 至少需要___次变换。
【答案】21

---

二、解答题（共4题）

19、已知 $\frac{\sin x+\sin y+\sin z}{sin(x+y+z)}=\frac{\cos x+\cos y+\cos z}{\cos (x+y+z)}=a$，证明：$\cos (x+y)+\cos (y+z)\cos (z+x)=a$.

20、设函数：$f:R⟶R_{+}$ 单调递增，证明：存在 $x_o\in R$，使得 $f(x_0+\frac{1}{f(x_0)})<2f(x_0)$.

21、设 { a , b } \lbrace a,b \rbrace {a,b} 和 { c , d } \lbrace c,d \rbrace {c,d} 分别是两个矩形的长与宽，且 $a<c<d<b$，证明：第一个矩形能放入第二个矩形当且仅当 $(bc-ad{)}^2+(bd-ac{)}^2\ge (b^2-a^2{)}^2$.

22、点 $D,E,f$ 分别在 $△ABC$ 的边 $BC,CA,AB$ 上，记 $△AFE、△BDF、△CED、△DEF$ 的面积分别为 $\alpha 、\beta 、\gamma 、\delta$，证明： m i n { α , β , γ } < δ min\lbrace \alpha,\beta,\gamma\rbrace\lt\delta min{α,β,γ}<δ

---

P.S.该试卷的试题和答案均来自网络，博主仅作收录，题目与答案请自行甄别。「2025.3.16 18:32」