汉密士的博客

博主首次发布于优快云，禁止转载！（优快云：汉密士2025）该篇博文中所有的线性代数习题均来自哔哩哔哩的UP主自制公开课《俗说矩阵》，UP名为“晓之车高山老师”。该课程本人于2023年一集集看完，后续又将视频中的题目收录到个人习题本上，于今日正式上传个人优快云博文内，望后来的读者无需再为线性代数的学习资料而忧心。在我心中共有两门神课是最适合大一新生入门学习线性代数的网络课程：前者为初学者建立几何直观，后者为初学者为工科学生和考研学子打下扎实的基础，两者相辅相成。我刚刚又去哔哩哔哩看了一下《线性代数的本质

欧氏空间解析几何、仿射空间解析几何、射影空间解析几何、抽象代数（群、环、域）、交换代数、微分几何、复分析、代数数论、合格的数学系毕业生。

高等代数是大学数学专业的重要基础课之一，是中学代数的继续和提高。它是由多项式论（或方程论）和线性代数两大部分组成。方程论是十九世纪初形成的代数的中心问题。它围绕着一个未知量的nnn次代数方程（1）的解法的研究形成了一整套理论。xna1xn−1⋯an−1xan01xna1​xn−1⋯an−1​xan​01这部分内容在中学代数课程里有多不少是讨论过的，例如，多项式的运算、多项式的因式分解、二次方程等等。

线代[10]｜《空间解析几何》陈绍菱（1984.9）（欧氏空间解析几何学习指南。）

向量又称为矢量，最初应用与物理学。很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等等都是向量。大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则得到。“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。最先使用有向线段表示向量的是英国科学家牛顿。向量进入数学并得到发展的阶段是18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数 a+bia+bia+bi ，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算。把坐标平面上的点用向量表示出来，并把

同学们在中学里都学过代数（即初等代数）。初等代数的主要内容是：研究数及运算。由于用字母表示数，因此应用题可以列方程来解，解方程就成为初等代数的一个中心议题。

实对称矩阵是一类极其重要的矩阵并蕴有丰富的性质，如实对称矩阵均可对角化，实对称矩阵正交相似于对角阵，实对称矩阵的特征值都落在实数R\mathsf{R}R的范围内……类似的性质的还有很有。笔者将在这一篇笔记中对其性质进行一一的剖析，尽力做到事无巨细。不同与以往的几篇笔记，笔者在开篇会引入一道经典的实对称矩阵正交化的例题，在例题的基础附加几道相应的思考题，以便帮助读者展开思考。现在请跟随笔者将一个最基本的问题解决，那就是什么是实对称矩阵?

矩阵对角化一节略有琐碎，对于如何判断矩阵对角化——代数重数和几何重数相等，笔者已经在第五篇线代笔记中给出了相应的定义以及数学层面的证明。在第六篇笔记中笔者将对矩阵的对角化给出粗略的梳理，涉及定义、矩阵对角化相应的例题（经典斐波那契数里的通项求解、MIT线代习题公开课T23矩阵的方幂、MIT线代习题公开课T25粒子的跳跃）以及相应的结论。对于对角化一节会粗粗略过，该篇重点回放在第二部分——特征在微分方程中的应用。...

特征值和特征向量——在矩阵的数值计算中不可或缺的一环，但大多数人仅满足于套用公式 $\mathsf{f(\lambda)=\mid \lambda E-A\mid}$ 止步于粗浅地求出相应的数值和向量。在笔者看来未免太过可惜，没有真正从几何层面体验特征值和特征的向量，自然也就无法领略几何层面的优美。 对于特征值和特征向量，笔者会先从大家熟悉的代数层面切入，然后引出多数人不熟悉的几何层面。...

在学习高等代数的时候，我们经常可以在各种定义里看到看到“数域”两个字，但在后面的学习中这个概念似乎总是被轻描淡写的略过，似乎不是那么重要。实际上，可以这样说，不管是求解线性方程组还是矩阵的消元运算，计算中所考虑到的数集及其变化都处于数域内部。简而言之，整个过程是处于完全“封闭状态”的。...

该篇文章以非齐次线性方程组为例题引出增广矩阵(A,b)的解集，配合矩阵的QR分解对增广矩阵(A,b)重新构造。在转置方面从代数的角度切入，但这个角度比较浅显。我们需要真正明白的是转置在向量空间层面发挥了什么作用。 重要提醒，在阅读该文章之前，必须将MIT线性代数习题公开课第11题的习题观看完毕并消化理解，这是串联所有知识点的脉络，其余只是模块组成。...

对极易混淆概念的梳理 — 线性相关与线性无关、极大线性无关部分组与秩与基础解系、向量空间的基与维数

经典数列求和题及其延伸求解方法。