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一、概述
十七世纪初叶，初等数学基本完成，可以说，常量数学的发展就告结束。随着坐标的引入，解析几何得以建立，这就是变量数学时期的开始，它把数学的基本对象——空间形式和数量关系密切地联系起来，对整个数学的发展起了巨大的作用。（博主：高考的数学1600年就已经彻底“死”了。学数学最重要的是去学数学工具，用数学工具去研究一个数学问题，如用代数工具就是解析几何，用几何工具就是平面几何和立体几何，用拓扑工具就是拓扑学，还有微分方程工具，矩阵工具。国内高考数学范围所涉及的数学工具太少了，导致现在的教学有相当大的内容都在分题型和用数学模型去解题，纯属本末倒置。 2025.3.29 11:05）
解析几何是大专院校数学系最基本的课程，是从初等数学进入高等数学的转折点，起着承前启后的作用，是学习高等数学的重要基础。
学习本课程的目的和要求，除系统掌握解析几何的基本内容外，更重要的是培养同学运用代数方法解决几何问题的能力，在实际生活中运用解析几何方法处理问题的能力。解析几何与分析、代数有密切的联系，它能为分析中抽象性质作直观解释，并为代数中的抽象对象提供具体模型，使几何、分析和代数形成不可分割的有机整体。解析几何在工程技术、物理、化学、生物、经济等其他领域都有广泛的应用。
本课程以实数代数和向量代数为工具来研究欧几里得三维空间几何。为了配合欧几里得空间度量性质的特点，这里仅学习笛卡尔直角坐标系，同时要会运用向量和坐标两种方法。
由于中学已学过解析几何中的平面部分，这里只学习空间部分，也就是欧几里得空间解析几何。此外鉴于目前中学所学平面解析几何似不能满足数学专业后继课学习的需要，因此列入“平面几何解析补充”作为附录。至于仿射解析几何和射影解析几何，放在高等几何课里学习。（博主：真正的解析几何含有三大内容模块“欧氏空间解析几何”、“仿射空间解析几何”、“射影空间解析几何”，而解析几何随着维度的增加以及结合函数论、拓扑学等其他学科的内容，更是会开辟出无数片新的数学天地。当个人随着数学学习的深入，会逐渐体会到解析几何实际上是比高等代数难得多得。我现今距离那一步还差得很远很远呀。 2025.3.29 11:14）
本课程主要包括四个单元：
（一）向量代数
（二）空间的一次问题
（三）特殊曲面和空间曲线
（四）空间的二次问题
另外，平面几何解析复习和补充作为附录，它包括一般二次曲线问题的研究、参数方程和极坐标。（博主：24册数学基础知识丛书之《极坐标与参数方程》赵霖，《轨迹》杨学渊，《圆锥曲线》许仲苌、左铨如，《线性方程组和矩阵》王笃正，《微积分初步》高国士，《圆》赵遂之，《直线形》毛鸿翔、古成厚、章士藻、赵遂之。这里只写了七册的书名，对于第八册《有理数与无理数（唐复苏）》博主在之前的一篇文章《微积分[1]｜微积分的底层逻辑：解析几何、不等式与极限（含博主推荐的数理教材共计26册）》做一点点内容的介绍，点击文章名跳转阅读。对于这24册数学基础知识丛书，博主目前已经阅读十册，剩余的十四册希望今年阅读完毕，也许以后会在优快云里开一个专栏介绍这个系列的丛书吧。我的人生蹉跎了太久太久了，人生是不能欠“债”的呀，尤其是知识储备，但我前半生欠的实在太多太多了。 2025.3.29 11:30）
在大学里这门课都安排在第一学年第一学期，讲授的学时大约70左右。由于自学的条件不同，读者可以适当增加学时数。
自学的读者首先要选择好课本，到目前已出版的解析几何教材有多种，现在介绍下列几种作为课本和参考书。
- 《空间解析几何学》，朱鼎勋、陈绍菱编，1982年，北京师范大学出版社出版社。这本书专讲欧氏解析几何，系统比较完整，内容比较精炼，其中习题是集中编写的，最后附有平面解析几何复习和补充，以补足中学学习的不足。这本书可以作为自学课本。
- 《空间解析几何》，吴大任编，1981年，人民教育出版社出版。这本书对欧几里得、仿射、射影三种解析几何都给予介绍，而且讲解方法和代数密切配合，可以参考其中欧氏部分。
- 《大学自学丛书空间解析几何》，朱鼎勋编，1981年，上海科技出版社。
- 《解析几何》，孙泽瀛编，1958年，高等教育出版社出版。这本书平面部分、空间部分俱全，仅讲授欧几里得解析几何，特点是几何形象观念比较强。
选定课本后，就可以根据前述内容和教材安排，制定比较详细的学习计划，包括划分单元、按单元教材的安排和自学时间的分配，建议自学者参照下表安排自学。
要学好这门课，还要注意以下几点：
- 第一，在自学每节后要写小节，并作一定数目的习题（由易到难）；在自学每章后，要写本章总结，并作一定数目的综合习题，习题最好选作《空间解析几何》和《空间解析几何学》这两本相应章节的习题。
- 第二，在学完全书后进行总复习，最后作自我检测题；
- 第三，如时间不够，第五单元中第二部分可略去。
二、平面几何复习与补充
本单元的内容，就是上表所列第一单元的三部分。
（一）学习二次曲线方程的代数理论这部分的时候，要认真领会和掌握下列各点：
- 一般二次曲线方程的第一种化简法，它包括：先求旋转角，利用坐标系的旋转化去交叉项，注意旋转三角函数数值符号的取法；再用坐标系的平移化成标准方程。用这个方法不但能定曲线的形状，而且能准确地决定曲线在旧系下的位置。
- 中心的确定，它包括：中心的求法；利用中心把一般二次曲线方程予以分类。
- 一般二次曲线方程的第二种化简法，它包括： I 1 、 I 2 I_1、I_2 I1、I2 和 I 1 I_1 I1 是移轴和转轴下的不变量叫做基本不变量； K 1 K_1 K1 是转轴下的不变量，且当适合某鞋特定条件时它也是移轴下的不变量，叫做条件不变量； I 1 、 I 2 、 I 3 I_1、I_2、I_3 I1、I2、I3 和 K 1 K_1 K1 组成不变量完全系统，用它很容易判定一般二次曲线方程所表曲线的形状，但不能确定它的位置；用不变量能写出三类归范方程，而且用这种方程可以具体算出和双曲线有关的一些几何量。注意二次曲线的归范方程和利用中心所分的三类是相对应的。
学习这一单元，要求读者能够：利用坐标变换简化一般二次曲线的方程；不变量本身证明不作要求，但是要会用完全系统来判定曲线的种类；利用归范方程、不变量确定曲线一些几何量的大小。
（二）学习参数方程这部分的时候，要求读者领会和掌握下列各点：
- 选定参数，建立直角坐标系下曲线的参数方程，参数有时有几何意义。
- 直线和二次曲线参数方程的建立。
- 利用参数解决一些复杂的轨迹问题。
- 曲线参数方程所表曲线的描绘。
（三）学习极坐标这部分的时候，应该掌握下列各点：
- 极坐标建立的要素以及它和直角坐标系的异同。
- 曲线极坐标方程的讨论以及曲线的描绘。
- 利用极坐标建立曲线的方程。
三、向量代数
读者过去都学过自然数系、有理数系、实数系和复数系等，在它们的运算中有一个公共性质，就是加法都适合交换律、结合律，乘法都适合交换律、结合律和分配律。并且一般遇到的许多计算问题，不论在理论上或实际上，大都在实数范围里进行。在平面解析几何里用坐标表示平面上的点，不论直角坐标或者极坐标，都是用一对有序实数来表示。有了坐标系之后，曲线就可以建立方程，于是就可以展开图形几何性质的研究，这就是平面解析几何的中心思想。 特别值得注意的是，它所用的方法是坐标法，它是在实数范围里进行的。
但是我们常遇到的一些量，不但要用数值，而且还要用方向一起来刻画，这种量就是向量。在这里我们引进向量代数并且用它作为工具，展开对图形性质的研究，这就是向量法，而且用向量法和用坐标法分别所得的结果可以互相转化。这也就是近代常提到的向量几何的部分内容。
学习本单元要注意到向量代数和实数代数的异同，以及向量代数运算的几何作用。
本单元又可以细分成下列五点：
（一）向量的线性运算（《空间解析几何学》第一章，第1-3节）：包括三点内容。
- 向量的加法；
- 向量的减法；
- 数量和向量的乘法。
应当注意的是：各种运算律是否成立？运算结果怎样用几何图形来表示？
（二）空间直角坐标系的建立以及向量的坐标表示（《空间解析几何学》第一章第4-6节）：包括四点内容。
- 坐标系建立的要素；
- 向量的分解和代数表示；
- 直角坐标系下两个基本公式——距离公式和分点公式；
- 向量的方向余弦和方向数。
应当注意的是：向量公式和坐标公式的互化以及用向量表示的一些公式不论在平面或在空间都一样，而用坐标表示却不尽相同。
（三）两个向量的第一种乘法——数量积（《空间解析几何学》第一章第7节）包括三点内容。
- 数量积的定义；
- 运算律；
- 向量和坐标两种表示。
应当注意的是：数量积和两向量长度间的关系；数量积和两向量角度以及垂直间的关系。
（四）两个向量的第二种乘法——向量积（《空间解析几何学》第一章第8节）：包括三点内容。
- 向量积的定义；
- 运算律；
- 向量和坐标两种表示法。
应当注意的是：向量积和两向量长度间的关系，向量积和平行四边形、三角形面积的关系，向量积和两向量共线（平行）的关系。
（五）三个向量的乘法——混合积（《空间解析几何学》第一章第9节）：包括三点内容。
- 混合积的定义；
- 运算律
- 向量和坐标两种表示法。
应当注意的是：混合积和平行六面体、四面体体积的关系，混合积和三向量共面的关系。
四、空间的一次问题
这是平面解析几何中一次问题——直线在空间中的推广，学习本单元要注意四个方：
第一，要比较平面一次问题和空间一次问题的异同；
第二，要掌握一次形象方程的两种形式——坐标式和向量式以及它们之间的互化；
第三，要注意坐标方程中哪些是常数，哪些是变数；向量方程中哪些是常向量，哪些是变向量；
第四，要掌握用一次形象的方程来解决有关一次形象的几何问题。
空间一次问题和平面一次问题不同，它所表示的图形有两种：一个是平面，另一个是空间直线，现在分论如后：
（一）平面：这部分内容可细分成四点。
- 平面方程的各种形式：首先利用平面的一个几何特征——过定点以及跟定平面垂直的向量（叫法向量）建立点法式。由此可以推出一般式、三点式、截距式方程。
- 两平面间的关系：首先推求两平面位置关系的判定，其次再推求两平面的一个度量性质——交角的计算公式：
- 平面方程的法线式：利用平面的法线向量（和法向量不同）和原点到平面的距离两个要素建立平面的方程。
- 点和平面的相关位置：首先推求点和平面位置的判定的充要条件，其次再推求点到平面的有向距离（离差）和距离的计算公式。
（二）空间直线：这部分内容可细分成四点。
- 直线方程的各种形式的方程；首先利用直线的一个几何特征﹣一定点和定向向量（叫方向向量）来建立参数式方程（也叫点向式方程），然后推出对称式、两点式方程，又从另一个角度推出直线的一般式方程。
- 直线和平面间的关系：首先推求直线和平面位置关系的判定，其次推求直线和平面的一个度量性质——夹角的计算公式。
- 两直线间的关系：首先推求两直线间位置关系的判定，其次推求两直线间的一个度量性质——最短距离的计算公式（参考吴大任编《空间解析几何》第四章第三节）。
- 平面束：仿照平面解析几何中直线束的问题进行讨论。
五、特殊曲面和空间曲线
这是平面解析几何中特殊高次平面曲线部分在空间相应的内容。
在平面解析几何里，曲线方程的建立有两种方法：一种是直译几何条件法，另一种就是参数表示法。但是曲线总是看作由点的运动产生的。而空间曲面方程的建立也有两种方法，一种是直译几何条件法，曲面作为由点产生。另一种是曲线产生法。本单元就是利用这两种方法建立若干类特殊曲面的方程。
至于空间曲线可以看作是两个曲面的交线，于是它的方程可由两曲面方程联立表示，要注意答案不是唯一的。另外曲线方程也可由几何性质直接建立。
学习本单元应该注意：利用特殊曲面的几何特征建立方程的时候，要看运用哪种方法方便，有时两种方法都属可能，例如球面方程的建立。同时还要掌握从特殊曲面方程的代数特征能够认出它表示哪类特殊曲面。
这部分内容又可细分成五点。
（一）曲面、空间曲线和方程间的关系：类似于平面解析几何中曲线和方程的关系，在选妥坐标系后，利用曲面的几何特征建立三元方程 F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0 ，叫做曲面的方程。反过来，三元方程在几何上表示一个曲面，它叫这个方程的曲面。
对空间曲线可以建立方程组
{ F ( x , y , z ) = 0 , G ( x , y , z ) = l . \begin{cases}F(x,y,z)=0,\\G(x,y,z)=l.\end{cases} {F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=l.
这可作和曲面类似的讨论。
（二）球面和空间圆：平面解析几何中的圆在空间的推广就是球面，由它的几何特征用直译条件法就得到它的方程，要注意方程的特征。然后推求一般三元二次方程表球面的充要条件。
（三）一类直纹曲面——柱面：把立体几何里的直圆柱面推广就得到这里的一般柱面。首先要注意它们的几何特征，然后利用曲线产生曲面的方法来建立它的方程。
- 以 f ( x , y ) = 0 , z = 0 f(x,y)=0,z=0 f(x,y)=0,z=0 作为准曲线、 z z z 轴方向作为母线方向的柱面方程是 f ( x , y ) = 0 f(x,y)=0 f(x,y)=0 。
- 凡三元方程缺一个变量，必表示以这一变量所对应的坐标轴的方向作为母线方向的柱面。
- 注意柱面方程不见得缺一个变量。
- 注意三种二次柱面的标准方程和三种二次曲线的标准方程完全一样。
- 空间曲线的射影柱面的概念、求法以及它的作用。
（四）一类直纹曲面——锥面：把立体几何中直圆锥面推广就得一般锥面。建立锥面方程的方法和建立柱面方程的方法非常类似。
- 以原点〔或以 ( a , b , c ) (a,b,c) (a,b,c)］点作为顶点的锥面方程必是关于 x , y , z x,y,z x,y,z（或 x − a , y − b , z − c x-a,y-b,z-c x−a,y−b,z−c）的齐次方程。
- 关于 x , y , z x,y,z x,y,z （或 x − a , y − b , z − c x-a,y-b,z-c x−a,y−b,z−c）的齐次方程必表以原点〔或以 ( a , b , c ) (a,b,c) (a,b,c)〕点为顶点的锥面方程。
（五）旋转曲面：立体几何中的直圆柱面、直圆锥面和球面都是最简单的旋转曲面，现在推广到一般情况。首先要注意这类曲面的几何特征，然后利用曲线产生曲面的方法来建立它们的方程。
- 以 f ( y , z ) = 0 , x = 0 f(y,z)=0,x=0 f(y,z)=0,x=0 作为母曲线、 y y y 轴作为旋转轴所产生的旋转曲面方程是 f ( y , ± x 2 + z 2 ) = 0 。 f(y,\pm\sqrt{x^2+z^2})=0。 f(y,±x2+z2)=0。
关于正负号的选取，现在举例说明：
半圆
z
=
−
1
−
x
2
、
y
=
0
z=-\sqrt{1-x^2}、y=0
z=−1−x2、y=0 以
x
x
x 轴作为旋转轴产生两个曲面块：
y
2
+
z
2
=
−
1
−
x
2
\sqrt{y^2+z^2}=-\sqrt{1-x^2}
y2+z2=−1−x2
和
y
2
+
z
2
=
1
−
x
2
,
\sqrt{y^2+z^2}=\sqrt{1-x^2},
y2+z2=1−x2,
前者无意义，后者是球面
x 2 + y 2 + z 2 = 1 。 x^2+y^2+z^2=1。 x2+y2+z2=1。
因此， y 2 + z 2 \sqrt{y^2+z^2} y2+z2 之前应取负号，从而可以看出正负号的作用。
- 凡形如 f ( y , ± x 2 + z 2 ) = 0 f(y,\pm\sqrt{x^2+z^2})=0 f(y,±x2+z2)=0 的曲面必定表以 f ( y , z ) = 0 、 x = 0 f(y,z)=0、x=0 f(y,z)=0、x=0 作为母曲线、 y y y 轴作为旋转轴的旋转曲面或以 f ( y 、 x ) = 0 、 z = 0 f(y、x)=0、z=0 f(y、x)=0、z=0 作为母曲线、 y y y 轴作为旋转轴的旋转曲面。依同理可分别得 g ( z , ± x 2 + y 2 ) = 0 g(z,\pm\sqrt{x^2+y^2})=0 g(z,±x2+y2)=0 和 h ( x ，士 V y 2 + 22 ) = 0 h(x，士Vy2+22)=0 h(x，士Vy2+22)=0 两种情况。
- 五类二次旋转曲面的标准方程。
- 曲面和空间曲线参数方程：参数的个数和变化范围，坐标形式和向量形式的互化。
六、空间二次问题
这是和平面解析几何中二次问题的相应内容，学习本单元要注意下列三个方面：
第一，比较平面二次问题和空间二次问题的异同；
第二，已知三元二次方程要能判断属于十七种二次曲面的哪一种，并能作出曲面的草图；
第三，要能够从二次曲面标准方程来研究它们的几何性质。
本单元共分两大部分，一部分是标准方程，另一部分是一般方程。现在分论如后：
（一）二次曲面的标准方程：学习这一部分内容可细分成五点。
- 曲面方程的讨论：这和平面解析几何中对曲线方程的讨论一样，可以帮助我们对曲面形状有所认识。
- 利用曲线产生曲面的方法建立椭圆面和两种双曲面、两种抛物面的标准方程，记牢它们方程的特点，会作它们的草图。
- 研究两类二次曲面——单叶双曲面和双曲抛物面的直纹性质。
- 空间坐标变换，空间坐标变换也有两种。坐标系的平移和平面部分基本相同，而坐标系的旋转却不完全相同，注意旋转公式中只有六个独立系数，而且应该知道它们所应适合的关系。
- 应牢记十七种二次曲面的标准方程。
（二）二次曲面的一般方程，这是和平面解析几何中﹣般二次曲线方程相类似的内容，共分三点：
- 一般二次曲面方程的若干几何性质：利用求直线和二次曲面的交点所得的二次方程，得出割线、切线、离线、渐近线以及母线的判定法，径平面、中心和顶点的求法；用中心给出一般二次曲面方程的一种分类法。
- 一般二次曲面方程的第一种化简法：首先确定三个主方向的方向余弦而建立新坐标系；经过坐标轴的旋转可同时消去三个交叉项，再经过坐标系的平移就可化成标准方程。这个方法不但能知道图形的形状，而且还知道图形关于旧系的位置。（应注意特征根的重复度以及主方向、方向余弦的选取方法。）
- 一般二次曲面方程的第二种化简法： I 1 、 I 2 、 I 3 I_1、I_2、I_3 I1、I2、I3 和 I 4 I_4 I4 是移轴和转轴下的不变量，叫基本不变量。 K 1 、 K 2 K_1 、K_2 K1、K2 是转轴下的不变量，叫条件不变量。 I 1 、 I 2 、 I 3 、 I 4 I_1、I_2、I3、I_4 I1、I2、I3、I4 和 K 1 、 K 2 K_1、K2 K1、K2 组成不变量完全系统，用来可以判定图形的形状，但不能判定它的位置。用不变量写出五类归范方程和用中心分类表里的五种相对应。
在这里，对于不变量本身的证明，不作要求，但会用来判定十七种中的哪一种以及用归范方程去推求一般二次方程所表曲面的一些几何量的大小。
七、自我测试题
1、下列方程在平面上和空间里各代表什么图形？
(1)
x
2
+
y
2
=
a
2
(
a
>
0
)
x^2+y^2=a^2(a\gt 0)
x2+y2=a2(a>0)；
(2)
ρ
=
θ
\rho=\theta
ρ=θ；（阿基米德螺线）
(3)
{
x
=
t
y
=
t
2
(
−
∞
<
t
<
∞
)
\begin{cases}x=t\\y=t^2\end{cases}(-\infty\lt t\lt \infty)
{x=ty=t2(−∞<t<∞)；
(4)
{
x
+
y
+
z
=
0
x
2
+
y
2
+
z
2
=
a
2
(
a
>
0
)
\begin{cases}x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2=a^2\end{cases}(a\gt 0)
{x+y+z=0x2+y2+z2=a2(a>0)；
(5)
P
→
⋅
n
→
=
p
\overrightarrow{P}\cdot\overrightarrow{n}=p
P⋅n=p（
n
→
\overrightarrow{n}
n 单位常向量，
p
>
0
p\gt 0
p>0）；
(6)
P
→
=
P
0
→
+
S
→
t
\overrightarrow{P}=\overrightarrow{P_0}+ \overrightarrow{S}t
P=P0+St（
P
→
\overrightarrow{P}
P 定向量，
S
→
\overrightarrow{S}
S 常向量，
−
∞
<
t
<
+
∞
-\infty\lt t\lt+\infty
−∞<t<+∞）；
(7)
a
2
x
2
+
b
2
y
2
=
2
z
(
a
、
b
≠
0
)
a^2x^2+b^2y^2=2z(a、b\ne 0)
a2x2+b2y2=2z(a、b=0) 。
2、(1) 已知两直线
P
→
=
P
0
→
+
S
→
t
\overrightarrow{P}=\overrightarrow{P_0}+\overrightarrow{S}t
P=P0+St，
P
→
=
P
1
→
+
S
→
t
(
S
1
→
∦
S
2
→
)
\overrightarrow{P}=\overrightarrow{P_1}+\overrightarrow{S}t(\overrightarrow{S_1}\nparallel\overrightarrow{S_2})
P=P1+St(S1∦S2) 它们是不是共面？如果共面，求所在平面的方程。
(2) 又知两直线
P
→
=
P
0
→
+
S
→
t
\overrightarrow{P}=\overrightarrow{P_0}+\overrightarrow{S}t
P=P0+St，
P
→
=
P
1
→
+
S
→
t
\overrightarrow{P}=\overrightarrow{P_1}+\overrightarrow{S}t
P=P1+St，它们是不是共面？如果共面，求所在平面的方程。
(3) 如果上面两平面都存在混合积
(
S
1
→
,
S
2
→
,
S
→
)
≠
0
(\overrightarrow{S_1},\overrightarrow{S_2},\overrightarrow{S}) \ne 0
(S1,S2,S)=0，求它们交线的参数方程。
3、已知圆
(
c
)
:
x
2
+
y
2
−
a
x
=
0
,
z
=
0
(
a
>
0
)
(c):x^2+y^2-ax=0,z=0(a \gt 0)
(c):x2+y2−ax=0,z=0(a>0)，
(1) 求以
(
c
)
(c)
(c) 作为准曲线，
z
z
z 轴作为母线方向的柱面方程；
(2) 求以
(
c
)
(c)
(c) 作为准曲线，以
(
α
,
β
,
γ
)
(\alpha,\beta,\gamma)
(α,β,γ) 点作为顶点的锥面方程；
(3) 求以
(
c
)
(c)
(c) 作为准曲线，
x
x
x 轴作为旋转轴的旋转曲面方程；
4、（1）求直线
x
−
x
0
l
=
y
−
y
0
m
=
z
−
z
0
n
(
l
2
+
m
2
+
n
2
=
1
)
\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}(l^2+m^2+n^2=1)
lx−x0=my−y0=nz−z0(l2+m2+n2=1) 和椭圆面
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
1
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1
a2x2+b2y2+c2z2=1 相切的充分条件；
（2）再从椭圆外以一动点作三条两两垂直的切线，求这动点的轨迹，并说明它的形状。
5、已知二次曲面
y
z
+
z
x
+
x
y
=
a
2
(
a
>
0
)
yz+zx+xy=a^2(a \gt 0)
yz+zx+xy=a2(a>0)，
(1) 问它表示哪种二次曲面？
(2) 求它的主轴长。
八、三维空间中的二次曲线方程总结（博主附加）
｜二维平面（十道方程）
- 圆 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = R 2 (x-a)^2+(y-b)^2=R^2 (x−a)2+(y−b)2=R2
- 椭圆 a 2 x 2 + y 2 b 2 − 1 = 0 \frac{a^2}{x^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0 x2a2+b2y2−1=0
- 虚椭圆 a 2 x 2 + y 2 b 2 + 1 = 0 \frac{a^2}{x^2}+\frac{y^2}{b^2}+1=0 x2a2+b2y2+1=0
- 点（一对相交于实点的虚直线） x 2 a 2 + y 2 b 2 = 0 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0 a2x2+b2y2=0
- 双曲线 x 2 a 2 − y 2 b 2 − 1 = 0 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-1=0 a2x2−b2y2−1=0
- 抛物线 y 2 − 2 p x = 0 y^2-2px=0 y2−2px=0
- 一对相交的直线 x 2 a 2 − y 2 b 2 = 0 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0 a2x2−b2y2=0
- 一对平行的直线 x 2 − a 2 = 0 x^2-a^2=0 x2−a2=0
- 一对虚的平行直线 x 2 + a 2 = 0 x^2+a^2=0 x2+a2=0
- 一对重合的直线 x 2 = 0 x^2=0 x2=0
平面上二次曲线的一般形式为
A
x
2
+
2
B
x
y
+
C
y
2
+
D
x
+
E
y
+
F
=
0
Ax^2+2Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0
Ax2+2Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 ，或者以矩阵形式表示该曲线方程
(
x
y
)
(
a
b
b
c
)
(
x
y
)
+
(
d
e
)
(
x
y
)
+
(
f
)
=
(
0
)
.
\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}d&e\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+(f)=(0) .
(xy)(abbc)(xy)+(de)(xy)+(f)=(0).
｜ 三维空间（十七道方程）
- 椭圆面 x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c − 1 = 0 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c}-1=0 a2x2+b2y2+cz2−1=0
- 虚椭圆面 x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 + 1 = 0 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+1=0 a2x2+b2y2+c2z2+1=0
- 单叶双曲面 x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 − 1 = 0 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}-1=0 a2x2+b2y2−c2z2−1=0
- 双叶双曲面 x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 + 1 = 0 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}+1=0 a2x2+b2y2−c2z2+1=0
- 二次锥面 x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0 a2x2+b2y2−c2z2=0
- 虚二次锥面 x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 0 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=0 a2x2+b2y2+c2z2=0
- 椭圆抛物面 x 2 a 2 + y 2 b − 2 c z = 0 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b}-2cz=0 a2x2+by2−2cz=0
- 双曲抛物面 x 2 a 2 − y 2 b 2 − 2 c z = 0 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-2cz=0 a2x2−b2y2−2cz=0
- 椭圆柱面 x 2 a 2 + y 2 b 2 − 1 = 0 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0 a2x2+b2y2−1=0
- 虚椭圆柱面 x 2 a 2 + y 2 b 2 + 1 = 0 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+1=0 a2x2+b2y2+1=0
- 一对虚的相交平面 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 0 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0 a2x2+b2y2=0
- 双曲柱面 x 2 a 2 − y 2 b 2 − 1 = 0 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-1=0 a2x2−b2y2−1=0
- 一对相交的平面 x 2 a 2 − y 2 b 2 = 0 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0 a2x2−b2y2=0
- 抛物柱面 y 2 − 2 p x = 0 y^2-2px=0 y2−2px=0
- 一对平行的平面 x 2 − a 2 = 0 x^2-a^2=0 x2−a2=0
- 一对虚的平行平面 x 2 + a 2 = 0 x^2+a^2=0 x2+a2=0
- 一对重合的平面 x 2 = 0 x^2=0 x2=0
注意，三维空间中的双圆锥面和平面相截的方程组是 { f ( x , y ) = a x 2 + 2 b x y + c y 2 + d x + e y + f f ( x , y ) = g ， \begin{cases}f(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2+dx+ey+f\\f(x,y)=g\end{cases} ， {f(x,y)=ax2+2bxy+cy2+dx+ey+ff(x,y)=g，
或者三维空间中带三个变数的一般的二次曲线的二次方程形式为 A 1 x 2 + A 2 y 2 + A 3 z 2 + 2 B 1 y z + 2 B 2 x z + 2 B 3 x y + 2 C 1 x + 2 C 2 y + 2 C 3 z + D = 0 A_1x^2+A_2y^2+A_3z^2+2B_1yz+2B_2xz+2B_3xy+2C_1x+2C_2y+2C_3z+D=0 A1x2+A2y2+A3z2+2B1yz+2B2xz+2B3xy+2C1x+2C2y+2C3z+D=0
以上方程所涉及的空间曲线图形请自行借助搜索网络搜索。
九、参考资料
- 24册数学基础知识丛书；
- 书籍《线性代数的几何意义》任广千；
- 《数学：它的内容、方法和意义》三卷本之第一卷P234；
- 博主个人在2024年11月6日发布的博客《微积分[1]｜微积分的底层逻辑：解析几何、不等式与极限（含博主推荐的数理教材共计26册）》；
十、更新时间记录
- “一、概述”收录完毕；「2025.3.28 13:14」
- “二、平面几何复习与补充”收录完毕；「2025.3.28 15:53」
- “四、空间的一次问题”收录完毕；「2025.3.28 16:15」
- “五、特殊曲面和空间曲线”收录完毕；「2025.3.28 16:54」
- “六、空间二次问题”收录完毕；「2025.3.28 17:04」
- “七、自我测试题”收录完毕；「2025.3.28 21:46」
- 博主添加红色字体完毕；「2025.3.29 11:32」
- “八、三维空间中的二次曲线方程总结（博主附加）”；「2025.3.29 12:51」
- 修改并增加文章第八节中的方程数量。「2025.3.29 17:08」
P.S.1 个人收集到的资料除了这一篇文章还有两篇文章主题涉及代数与解析几何——《高等代数》刘运英（1984.9）、《高等几何》陈绍菱（1984.9）。这些文章其实和上世纪80年代的那套大学自学丛书是配套的（点击博主在2023年9月发布的文章《科大学长对数学系学弟学妹的忠告（博主估计文章成文在1996年到1997年左右）（2023.9.26）》，直接拉到文章末尾的后记可见。）但我不打算再扩充文章内容了，已经一万七百多字，再扩充下去三万字都写不完。十一本大学数学自学丛书，十四篇文章，这是第一篇，后面有时间再慢慢收录吧……「2025.3.29 13:17」
P.S.2 后续第十一篇文章“《高等代数》刘云英（1984.9）”已经收录完毕，全文一万三千多字，今日下午发布。「2025.3.31 12:07」
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