傅里叶变换的性质及证明

最新推荐文章于 2025-05-23 17:55:43 发布

_YAM_

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分类专栏：复变函数文章标签：卷积数学信号处理图像处理

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傅里叶变换的性质及证明

1. 线性性质 $F[αf1(t)+βf2(t)]=αF1(ω)+βF2(ω)\qquad F[\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)]=\alpha F_1(\omega)+\beta F_2(\omega)$

证明：

$\begin{aligned} F[\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)] &=\int_{-\infty}^{+\infty}[\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)]e^{-jwt}dt\\ &=\alpha \int_{-\infty}^{+\infty}f_1(t)e^{-jwt}dt + \beta \int_{-\infty}^{+\infty}f_2(t)e^{-jwt}\\ &=\alpha F_1(\omega)+\beta F_2(\omega)\\ & (证毕) \end{aligned}$

2. 位移性质 $F[f(t±t0)]=e±jwt0F(ω)\qquad F[f(t\pm t_0)]=e^{\pm jwt_0}F(\omega)$

证明：

$\begin{aligned} F[f(t\pm t_0)] &=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t\pm t_0)e^{-jwt}dt\qquad(令u=t\pm t_0)\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}f(u)e^{-jw(u\mp t_0)}du\\ &=e^{\pm jwt_0}\int_{-\infty}^{+\infty}f(u)e^{-jwu}du\\ &=e^{\pm jwt_0}F(\omega)\\ & (证毕) \end{aligned}$

3. 对称性质 $F[f(−t)]=F(−ω)\qquad F[f(-t)]=F(-\omega)$

证明：

$\begin{aligned} F[f(-t)] &=\int_{-\infty}^{+\infty}f(-t)e^{-jwt}dt\qquad(令u=-t)\\ &=\int_{+\infty}^{-\infty}f(u)e^{-jw(-u)}d(-u)\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}f(u)e^{-j(-w)t}du\\ &=F(-\omega)\\ & (证毕) \end{aligned}$

4. 尺度性质 $F[f(at)]=1∣a∣F(ωa)(a≠0)\qquad F[f(at)]=\frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})\qquad(a\neq0)$

证明：

$\begin{aligned} F[f(at)] &= \int_{-\infty}^{+\infty}f(at)e^{-jwt}dt\qquad(令u=at)\\ &= \begin{cases} \int_{-\infty}^{+\infty}f(u)e^{-jw\frac{u}{a}}d\frac{u}{a} & ,a>0\\ \int_{+\infty}^{-\infty}f(u)e^{-jw\frac{u}{a}}d\frac{u}{a} & ,a<0\\ \end{cases}\qquad{(注意上下限)}\\ &=\frac{1}{|a|}\int_{-\infty}^{+\infty}f(u)e^{-j\frac{w}{a}u}da\\ &=\frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})\qquad(a\neq0)\\ & (证毕) \end{aligned}$

5. 微分性质 $F[f′(t)]=jwF(ω)\qquad F[f'(t)]=jwF(\omega)$

证明：

前提：f(x)在 $(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)$ 上连续或只有有限个可去间断点,且 $lim⁡x→∞f(x)=0\lim\limits_{x\rightarrow\infty} f(x)=0$
$\begin{aligned} F[f'(t)] &=\int_{-\infty}^{+\infty}f'(t)e^{-jwt}dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-jwt}df(t)\\ &=0-(-jw)\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-jwt}dt\\ &=jwF(\omega)\\ & (证毕) \end{aligned}$

用数学归纳法易证：当 $(k=0,1,…,n−1)时,\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f^{(k)}(x)=0\ (k=0,1,\dots,n-1)时,$
$F[f(n)(t)]=(jw)nF(ω)F[f^{(n)}(t)]=(jw)^nF(\omega)$

6. 积分性质 $F[∫−∞tf(t)dt]=1jwF(ω)\qquad F[\int_{-\infty}^{t}f(t)dt]=\frac{1}{jw}F(\omega)$

证明：

前提： $lim⁡t→+∞∫−∞tf(t)dt=0\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\int_{-\infty}^{t}f(t)dt=0$

$令g(t)=∫−∞tf(t)dt,有lim⁡t→∞g(t)=0\qquad令g(t)=\int_{-\infty}^{t}f(t)dt,\qquad 有\lim\limits_{t\rightarrow\infty}g(t)=0$
$\begin{aligned} & \therefore F[g'(t)]=jwF[g(t)]\\ & \because g'(t)=f(t)\\ & \therefore F[f(t)]=\frac{1}{jw}F[g(t)]\\ & (证毕) \end{aligned}$

7. 卷积性质 $F[f∗g]=F(f)⋅F(g)\qquad F[f*g]=F(f)\cdot F(g)$

证明：

$\begin{aligned} F[f*g] &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(\tau-t)dt\ e^{-jw\tau}d\tau \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(\tau-t)e^{-jw(\tau-t)}d\tau\ e^{-jwt}dt\qquad(令u=\tau-t)\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(u)e^{-jwu}du\ e^{-jwt}dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-jwt}dt\int_{-\infty}^{+\infty}g(u)e^{-jwu}du\\ &=F(f)\cdot F(g)\\ & (证毕) \end{aligned}$