第三章、复变函数积分_复变函数沿直线积分-优快云博客

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本文探讨了复变函数的积分理论，包括柯西定理、原函数的存在性以及单连通区域内的积分特性。重点介绍了柯西公式，展示了如何通过圆周上的平均值来求解函数在某点的值，同时还涵盖了高阶导数的柯西微分公式。此外，莫勒拉定理也作为重要结论，指出函数在闭曲线上的积分为零意味着该函数在区域内解析。

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第三章、复变函数的积分

1. 柯西定理

复变函数的积分

在简单曲线C上，以下四个式子分别有极限：
$∫Cu(x,y)dx,∫Cv(x,y)dy,∫Cv(x,y)dx,∫Cu(x,y)dy,\int_Cu(x,y)dx,\int_Cv(x,y)dy,\int_Cv(x,y)dx,\int_Cu(x,y)dy,$

我们就说和式 $∫Cux(,y)dx−v(x,y)dy+i∫Cv(x,y)dx+u(x,y)dy,\int_Cux(,y)dx-v(x,y)dy+i\int_Cv(x,y)dx+u(x,y)dy,$ 有极限

这一极限称为f(z)沿曲线C的积分，记做
$∫Cf(z)dz\int_Cf(z)dz$

如果C是简单光滑曲线： $x=φ(t),y=ψ(t)(t0≤t≤T)，且t0及T相应于z0及Z，那么积分可以写成x=\varphi(t),y=\psi(t)(t_0\leq t\leq T)，且t_0及T相应于z_0及Z，那么积分可以写成$
$∫Cf(z)dz=∫t0Tf(z(t))z′(t)dt\int_Cf(z)dz=\int_{t_0}^{T}f(z(t))z'(t)dt$

定理

定理 1.
$设 f (z) 是在凸区域 D 内的解析函数，那么 f (z) 在 D 内有原函数$

定理 2.
$设f(z)是在单连通区域D内的连续函数，并且D内有原函数F(z).如果α及β∈D,并且C是D内连接α及β的一条曲线，那么\qquad设f(z)是在单连通区域D内的连续函数，并且D内有原函数F(z).如果\alpha及\beta \in D,并且C是D内连接\alpha及\beta的一条曲线，那么$
$∫Cf(z)dz=F(β)−F(α)\int_Cf(z)dz=F(\beta)-F(\alpha)$

定理 3.
$设f(z)是单连通区域D内的解析函数.设C是D内任一条简单闭曲线，那么\qquad设f(z)是单连通区域D内的解析函数.设C是D内任一条简单闭曲线，那么$
$∫Cf(z)dz=0\int_Cf(z)dz=0$
$设C是在D内连接z_0及z两点的任一条简单曲线，那么沿C从z_0到z的积分的值由z_0及z所决定，而不依赖于曲线C$ $∫z0zf(z)dz\int_{z_0}^{z}f(z)dz$

2. 柯西公式

定理 4.1
$设函数f(z)在单连通域D内解析，C是D内任意一条简单闭曲线，那么有\qquad设函数f(z)在单连通域D内解析，C是D内任意一条简单闭曲线，那么有$
$f(z0)=12πi∫Cf(z)z−z0dzf(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz$
$也可以表述为函数在z0处的值即为圆周上的平均值(令z=reθi换元即可证明)也可以表述为函数在z_0处的值即为圆周上的平均值(令z=re^{\theta i}换元即可证明)$

定理 4.1 (柯西微分公式或高阶导数公式)
$在定理4.1假设下，有\qquad在定理4.1假设下，有$
$f(n)(z0)=n!2πi∫Cf(z)(z−z0)n+1dzf^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$