矩阵算法基础

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参考资料

MATLAB数值分析

矩阵分析应用背景

​ 矩阵分析无论在数学理论还是实际工程中都具有重要的应用，如线性方程组的解与矩阵的特征量(如行列式、逆、条件数、秩等)、线性分解、二次型 (xTAx)的最大(小)值对应特征值矩阵 A的最大(小)特征值，线性系统的稳定性与系统特征矩阵的谱半径有关。

矩阵的简单操作

矩阵的定义

对于较小的简单矩阵，可以直接用键盘输入：
$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}1& 2& 9\\ 8& 5& 3\end{array}\right),\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cc}11& 5\\ 0& 4\\ 9& 1\end{array}\right)$$

A=[1 2 9;8 5 3]  %空格分隔
B=[11,5;0,0;9,1] %逗号分隔

矩阵的修改

​ $\mathbf{A}(\mathrm{i},\mathrm{j})$ 表示矩阵 $\mathbf{A}$ 中的第i行第j列的元素，由此可对其修改。

​ $\mathbf{A}(\mathrm{i},:)$ 表示矩阵 $\mathbf{A}$ 中第i行全部元素，同样 $\mathbf{A}(:,\mathrm{j})$ 表示矩阵 $\mathbf{A}$ 中第j列全部元素。

如果把以上矩阵 $\mathbf{A}$ 的第一行第二列元素赋给矩阵 $\mathbf{C}$ ，把矩阵 $\mathbf{B}$ 的第二列元素赋值给矩阵 $\mathbf{D}$ ，即有

C=A(1,2)
D=B(:,2)

矩阵的合并

将AB矩阵合并的大矩阵D：

A=[2,8,6;3,9,7;2,5,33]
B=[3,9,0;5,3,8;78,2,5]
D=[A B]

特殊矩阵的生成

​ 对于一些特殊矩阵可以使用函数直接生成。例如，分别生成单位矩阵、全1矩阵、魔方矩阵、随机矩阵及由向量生成对角矩阵，即有

[!NOTE]

魔方矩阵是什么？

​ 定义：将从 1 到 $n^2$ 的自然数排列成纵横各有 $n$ 个数的方阵，使每行，每列及两条对角线上的 n个数的和都相等，这个和称为幻和($\frac{n(n^2+1)}{2}$)，这样的方阵就称为 $n$ 阶魔方矩阵。

－举例：以三阶魔方矩阵(1-9)为例，如下所示：
$$\left[\begin{array}{lll}8& 1& 6\\ 3& 5& 7\\ 4& 9& 2\end{array}\right]$$

在这个矩阵中，每行，每列以及两条对角线上的数字之和都为15 。

eye(4) 			%生成4阶单位矩阵
ones(3, 4)	%生成3行4列全1矩阵
magic(3)		%生成3阶魔方矩阵
rand(3,3)	 %生成3行3列随机矩阵
A=[3,8,9,7]
B=diag(A)  %以A为对角线生成对角矩阵