[SCOI2012]滑雪与时间胶囊 （最小生成树）

[SCOI2012]滑雪与时间胶囊

题目描述：
a180285非常喜欢滑雪。他来到一座雪山，这里分布着M条供滑行的轨道和N个轨道之间的交点（同时也是景点），而且每个景点都有一编号i（1 ≤ i ≤ N）和一高度Hi。a180285 能从景点i 滑到景点j 当且仅当存在一条i 和j 之间的边，且i 的高度不小于j。
与其他滑雪爱好者不同，a180285喜欢用最短的滑行路径去访问尽量多的景点。如果仅仅访问一条路径上的景点，他会觉得数量太少。于是a180285拿出了他随身携带的时间胶囊。
这是一种很神奇的药物，吃下之后可以立即回到上个经过的景点（不用移动也不被认为是 a180285 滑行的距离）。
请注意，这种神奇的药物是可以连续食用的，即能够回到较长时间 之前到过的景点（比如上上个经过的景点和上上上个经过的景点）。
现在，a180285站在1号景点望着山下的目标，心潮澎湃。他十分想知道在不考虑时间 胶囊消耗的情况下，以最短滑行距离滑到尽量多的景点的方案（即满足经过景点数最大的前 提下使得滑行总距离最小）。你能帮他求出最短距离和景点数吗？
输入描述:
输入的第一行是两个整数N，M。
接下来1行有N个整数Hi，分别表示每个景点的高度。
接下来M行，表示各个景点之间轨道分布的情况。每行3个整数，Ui，Vi，Ki。表示编号为Ui的景点和编号为Vi的景点之间有一条长度为Ki的轨道。
输出描述:
输出一行，表示a180285最多能到达多少个景点，以及此时最短的滑行距离总和。
数据范围：
对于30%的数据，保证1<=N<=2000
对于100%的数据，保证1<=N<=100000
对于所有的数据，保证1<=M<=1000000， 1<-H_i<=100000000， 1<=K_i<= 100000000。

思路： 首先根据题意，我们要根据每个点的高度 H 建一个有向图（并且用结构体储存这些边），那么从点 1 开始bfs / dfs 就可以得到从点1 能到达的所有点的个数。那么一定存在一个树形图连接起这些点，但是如何使这个树形图为最小树形图（据说有个"朱-刘Edmonds“算法，但好像是O(nv)的复杂度，而且我不会），其实就是在有向图里求最小生成树。
回到问题上，普通的 $kruskal$ 会把所有的边都当为无向边来求解，但对于此问题只需要一些变形就可以达到有向边的效果。首先我们结构体储存的边都是满足条件的边，即 $h[a]>=h[b]$ ，所以我们可以以$h[b]$为第一关键字从大到小排序，以边权$k$为 第二关键字从小到大排序，这样当我们跑$kruskal$时，先拓展的都是第一层最高的点，那么到拓展第二层的点时，第一层的都已经加入到了图中，而与第二层相连的点都是在二层或一层的，所以这样就能满足拓展时点的高度非递减；

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e6+7;

int H[N],p[N];
bool vis[N];
int n,m;
LL ans1,ans2; 
struct Node{
	int a,b,k;
}E[N*2];

int h[N],e[N*2],ne[N*2],idx;
void add(int a,int b){
	e[idx] = b,ne[idx] = h[a],h[a] = idx++;
}

int find(int x){
	if(p[x]!=x) p[x] = find(p[x]);
	return p[x];
}

bool cmp(Node a,Node b){
	if(H[a.b]!=H[b.b]) return H[a.b] > H[b.b];
	return a.k < b.k;
}

void dfs(int x)
{
	ans1++,vis[x] = 1;
	for(int i=h[x];~i;i=ne[i]){
		int j = e[i];
		if(vis[j]) continue;
		dfs(j);
	}
}

void kruskal()
{
	sort(E,E+m,cmp);
	for(int i=1;i<=n;i++) p[i] = i;
	for(int i=0;i<m;i++){
		if(!vis[E[i].a]||!vis[E[i].b]) continue;
		int x = find(E[i].a) , y = find(E[i].b);
		if(x!=y){
			p[x] = y;
			ans2+=(LL)E[i].k;
		}
	}
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>H[i];
	memset(h,-1,sizeof h);
	for(int i=0;i<m;i++){	
		int a,b,c;
		cin>>a>>b>>c;
		if(H[a]>=H[b]) add(a,b),E[i] = {a,b,c};
		if(H[b]>=H[a]) add(b,a),E[i] = {b,a,c};
	}
	dfs(1);
	kruskal();
	cout<<ans1<<" "<<ans2<<"\n";
	return 0;
}