线性方程组的解集

线性代数中的线性方程组

1.5 线性方程组的解集

齐次线性方程组

  若线性方程组可写成$Ax=0$的形式，则称它为齐次的.其中$A$是$m\times n$矩阵而$0$是${\mathbb{R}}^m$中的零向量.这样的方程组至少有一个解，即$x=0$（${\mathbb{R}}^n$中的零向量），这个解称为它的平凡解.对给定方程$Ax=0$，重要的是它是否有非平凡解，即满足$Ax=0$的非零向量$x$.可由1.2节解的存在与唯一性定理（定理2）可得

齐次方程$Ax=0$有非平凡解当且仅当方程至少有一个自由变量.

例1 确定下列齐次方程组是否有非平凡解，并描述它的解集.
$$\begin{gathered} 3x_1+5x_2-4x_3=0 \\ -3x_1-2x_2+4x_3=0 \\ 6x_1+x_2-8x_3=0 \end{gathered}$$
令$A$为该方程组的系数矩阵，用行化简法把增广矩阵$\left[\begin{array}{cc}A& 0\end{array}\right]$化为阶梯形：
$$\left[\begin{array}{cccc}3& 5& -4& 0\\ -3& -2& 4& 0\\ 6& 1& -8& 0\end{array}\right]\backsim \left[\begin{array}{cccc}3& 5& -4& 0\\ 0& 3& 0& 0\\ 0& -9& 0& 0\end{array}\right]\backsim \left[\begin{array}{cccc}3& 5& -4& 0\\ 0& 3& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
因$x_3$是自由变量，故$Ax=0$有平凡解.为描述解集，继续把$\left[\begin{array}{cc}A& 0\end{array}\right]$化为简化阶梯形：
$$[\begin{array}{ccc}1& 0& -\\ 0& 1& \\ 0& 0& \end{array}$$