线性方程组（五）- 线性方程组的解集_参数向量形式是什么-优快云博客

本文深入探讨了线性方程组的解集，包括齐次方程组和非齐次方程组。对于齐次方程组，阐述了解的参数向量形式，指出解集与自由变量的关系。非齐次方程组的解集可通过特解加上齐次方程组解集来描述，形成一条通过特解并平行于齐次解集的直线。通过几何直观理解线性方程组的解集，有助于更好地掌握线性代数中的这一核心概念。

小结

齐次线性方程组的定义。
解集的参数向量形式。
非齐次线性方程组的解。

齐次线性方程组

线性方程组称为齐次的，若它可写成 $Ax=0\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 的形式，其中 $A\boldsymbol{A}$ 是 $m×nm{\times}n$ 矩阵而 $0\boldsymbol{0}$ 是 $Rm\mathbb{R}^{m}$ 中的零向量。这样的方程组至少有一个解，即 $x=0\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ （ $Rn\mathbb{R}^{n}$ 中的零向量），这个解称为它的平凡解。对给定方程 $Ax=0\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ ，重要的是它是否有非平凡解，即满足 $Ax=0\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 的非零向量 $x\boldsymbol{x}$ 。

齐次方程 $Ax=0\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 有非平凡解当且仅当方程至少有一个自由变量。

确定齐次方程组 $3x1+5x2−4x3=0−3x1−2x2+4x3=06x1+x2−8x3=0\begin{cases} 3x_1 + 5x_2 - 4x_3 = 0 \\ -3x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 0 \\ 6x_1 + x_2 - 8x_3 = 0 \\ \end{cases}$ 是否有平凡解，并描述它的解集。
解：令 $A\boldsymbol{A}$ 为该方程组的系数矩阵，用行化简算法把增广矩阵 $[A0]\begin{bmatrix}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{0} \end{bmatrix}$ 化为阶梯形
$[35−40−3−24061−80]\begin{bmatrix}3 & 5 & -4 & 0 \\ -3 & -2 & 4 & 0 \\ 6 & 1 & -8 & 0\end{bmatrix}$ ～ $[35−4003000900]\begin{bmatrix} 3 & 5 & -4 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0\end{bmatrix}$ ～ $[35−4003000000]\begin{bmatrix} 3 & 5 & -4 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$
因为 $x_3$ 是自由变量，故 $Ax=0\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$ 有平凡解（对 $x_3$ 的每一个选择都有一个解）。为描述解集，继续把 $[A0]\begin{bmatrix}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{0} \end{bmatrix}$ 化为简化阶梯形：
$x1=frac43x3x2=0x3为自由变量\begin{bmatrix} 1 & 0 & -\frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \qquad \begin{cases} x_1 = frac{4}{3}x_3 \\ x_2 = 0 \\ x_3为自由变量 \\ \end{cases}$