Games201学习笔记7：混合欧拉-拉格朗日视角2

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笔记内容大多为课程内容的翻译和转述，外加一些自己的理解，若有不正确的地方恳请大家交流和指正

笔记

MPM和FEM都属于Galerkin methods，MPM不同于FEM方法，其中没有元素。因此MPM ∈ Element-free Galerkin (EFG)

1. Moving Least Squares MPM (MLS-MPM)

移动最小二乘MPM
Y. Hu et al. (2018). “A moving least squares material point method with displacement discontinuity and two-way rigid body coupling”. In: ACM Transactions on Graphics (TOG) 37.4, pp. 1–14

1.1 APIC

3C. Jiang, C. Schroeder, and J. Teran (2017). “An angular momentum conserving affine-particle-in-cell method”. In: Journal of Computational Physics 338, pp. 137–164.

对比PIC方法额外维护了变量C（2x2或3x3的矩阵），记录了粒子周围的affine速度场（ax+b中的a项）

1. P2G：求网格上的动量和质量，其中增加affine的部分
2. Grid operation：从动量求出速度，求解泊松方程（pressure projection）得到散度为0的速度场
3. G2P：gather速度到粒子上，更新粒子位置，求新的矩阵C

1.2 MLS-MPM

对比APIC改进的地方：

1. P2G：将形变梯度引入动量的计算，增加了一个弹力项
2. Grid operation：计算弹性物体时，pressure projection替换为边界条件的约束计算得到速度
3. G2P：无改动

1.2.1 形变梯度的计算

使用矩阵C近似了速度的梯度得到

1.2.2 弹力项

一个累加到动量上的冲量(impulse)：