模型视图变换矩阵的推导

图形学上课的时候，👴坐在第一排划拉瑟图 ，老师突然布置了个作业：推导mv变换的矩阵。常言道上山容易下山难之用轮一时爽，造轮火葬场 ，这可把👴急坏了，周末就嗯搁这埋头一顿推。推了挺久的 今天记录一下过程。

mv矩阵的目的是将世界坐标系下的坐标转到相机坐标系下，即通过世界坐标表示相机坐标。其实就是一些平移和旋转变换，然后将坐标系转换即可。所以我们要求得两个变换的矩阵：

1. 旋转变换矩阵
2. 平移变换矩阵

然后把两个矩阵相乘，得到最终的变换矩阵 M，这个 M 矩阵左乘世界坐标系下的齐次坐标，能够帮助我们将世界坐标转为相机坐标。

好了 背景介绍到这里，❀不多🔒，开冲！

我们转换的第一步，就是确定相机坐标系的标架。假设已知世界坐标系下：

1. 相机原点 p 点坐标
2. 视平面法线 n
3. 竖直向上向量 vup （在世界坐标中为 (0, 1, 0)）

那么我们可以计算 vup 在视平面上的投影v，即平行于视平面的竖直向上分量。方法是通过三角形法则。随后通过n和v的叉乘表示出最后一个轴u：

将 u，v，n 归一化之后，我们得到在世界坐标系下，相机坐标系三个坐标轴指向的方向。

因为 u，v，n 都是归一化的向量，那么我们认为 u，v，n 就是世界坐标系下，相机坐标系的三个基向量。根据右手坐标系法则：u，v，n 向量对应的坐标轴为：