图形学：用十五分钟带您推导模型，视图和投影变换矩阵

前言

明天考图形学了，推一下矩阵，顺便练下 Latex

数学公式警告⚠

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模型矩阵

模型矩阵负责将物体进行三个变换：平移，选择和缩放。

此外，我们认为原坐标为 x，变换后则得到 x’ 坐标（接下来的变换都用该形式表示），即：

$$x\to x^{\prime }$$

话不多说，开冲！

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缩放

缩放矩阵非常简单，各个坐标直接乘以对应的缩放因子即可：

$$S(s_x,s_y,s_z)=\left[\begin{array}{cccc}{s}_x& 0& 0& 0\\ 0& s_y& 0& 0\\ 0& 0& s_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

旋转

旋转矩阵则分为绕 x，y，z 轴的旋转。以绕 z 轴的旋转为例，我们有如下的极坐标：

将极坐标展开就是：

$$\begin{gathered} x^{\prime }=rcos\varphi cos\theta -rsin\varphi sin\theta \\ {y}^{\prime }=rsin\varphi cos\theta +rcos\varphi sin\theta \end{gathered}$$

将原本 xy 的极坐标：

$$\begin{gathered} x=r\cos \varphi \\ y=r\sin \varphi \end{gathered}$$

带入 x’ 的极坐标展开，那么有

$$\begin{gathered} x^{\prime }=x\cos \theta -y\sin \theta \\ {y}^{\prime }=x\sin \theta +y\cos \theta \end{gathered}$$

又因为是在 xoy 平面上进行旋转，那么有：

$$z^{\prime }=z$$

即最终的变换矩阵有：
$$R_z(\theta )=\left[\begin{array}{cccc}cos\theta & -sin\theta & 0& 0\\ sin\theta & cos\theta & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

同理，得到绕 x，y 轴的变换矩阵（原理一样的）：

$$R_x(\theta )=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos\theta & -sin\theta & 0\\ 0& sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

$$R_y(\theta )=\left[\begin{array}{cccc}cos\theta & 0& -sin\theta & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ sin\theta & 0& cos\theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

平移

平移矩阵也简单，即在原坐标的基础上，加上一个常数即可：

$$T(t_x,t_y,t_z)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& t_y\\ 0& 0& 1& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

视图矩阵

视图矩阵负责将世界坐标系下的坐标转换到相机坐标系，即标架的转换！

相机坐标系基底

首先来确定相机坐标系的基底，即基向量。我们可以通过三个变量，确定相机坐标系的（在世界坐标表示下）基，他们是：

1. up： 一般为竖直向上向量 (0, 1, 0)
2. eye：相机的世界坐标下的位置
3. at：相机的视点（就是看向的点）的位置，也是世界坐标系下

即：

那么我们首先通过：

$$\vec{n}=eye-at$$

得到指向摄像机视平面法向 n

注：
事实上 n 是反的，因为相机看向 z 轴负方向
这也是为何我们要用 eye 减去 at

然后我们再通过 n 和 up 的叉乘，得到指向相机视平面右侧的向量 u：
$$\vec{u}=\overrightarrow{up}\times \vec{n}$$

即：

最最后我们通过将 u 和 n 进行叉乘，得到指向相机视平面上方的向量 v：

$$\vec{v}=\vec{n}\times$$