CODESYS编程实现：欧几里得算法-求多整数最大公约数(GCD)

一、前言

什么是欧几里得算法？

欧几里得算法（Euclidean Algorithm）是计算两个整数最大公约数（GCD） 的高效方法。它是已知最古老的算法之一，至今仍在广泛使用。

历史背景

• 发明者：古希腊数学家欧几里得
• 著作：记载于他的经典著作《几何原本》（Elements）第VII卷
• 时间：约公元前300年
• 地位：被称为"算法之祖"，是历史上第一个完整的算法

算法核心思想

两个整数的最大公约数，等于其中较小的数与两数相除余数的最大公约数

用公式表示：

GCD(a, b) = GCD(b, a mod b)

其中 a mod b 表示 a 除以 b 的余数；

算法步骤
以计算 GCD(48, 18) 为例：

1. 48 ÷ 18 = 2 余 12
2. 18 ÷ 12 = 1 余 6
3. 12 ÷ 6 = 2 余 0

当余数为0时，当前的除数6就是最大公约数

计算证明

• 如果 d 能整除 a 和 b，那么 d 也能整除 (a - kb)
• 因此 GCD(a, b) = GCD(b, a - kb)
• 特别地，当 k = ⌊a/b⌋ 时，a - kb 就是 a mod b

算法特点

• 高效性：时间复杂度为 O(log(min(a,b)))
• 简洁性：代码实现非常简洁
• 稳定性：对大数据也能快速计算
• 扩展性：可推广到多项式等其他数学结构

CODESYS编程实现：欧几里得算法-求多整数最大公约数(G