使用普鲁克分析对两组相机/三维点(已知对应关系)进行相似变换对齐的方法及python代码

  在两组相机(或三维点)对齐方法介绍及实现代码(求解相似变换,包含旋转R、平移t、尺度s)博客中,也介绍了一种求解两组相机之间的相似变换的方法和代码。相比之下,本博客方法本质上是对两组三维点进行变换的,不涉及对两组相机的旋转之间的对齐计算,适用于预测场景不够准确的情况(更一般)。
  对两组相机进行对齐,需要首先明确相机坐标系的定义方式,有两种:

Xworld = RXcamera + t
Xcamera = RXworld + t

  这两种坐标系的定义是不一样的(其实它们就是一个互逆变换的过程),弄错了的话就没法获得正确的转换结果了(关于这两种坐标系的转换关系,这篇博客里有说明)。在明确了坐标系定义之后,就可以进行计算了。

### 普鲁克算法简介 普鲁克分析(Procrustes Analysis)用于比较两组数据之间的一致性,特别是当这些数据表示的是不同配置下的相同对象时。此方法的核心在于找到一种变换方式,使得一组数据能够尽可能接近另一组数据,在数学上表现为最小化两者之间的平方差之和[^3]。 具体来说,普鲁克分析的目标是最小化如下目标函数: \[ \min_{R,t} \| RX + t\mathbf{1}^T - Y \|_F^2 \] 其中 \(X\) 和 \(Y\) 是待配准的数据点集合,\(R\) 表示旋转矩阵,而 \(t\) 则代表平移向量。\(\mathbf{1}\)是一个所有元素均为1的列向量。上述公式意味着要寻找最佳的刚体运动(即不改变物体内部结构),使一个形状能最好地拟合另一个形状。 ### 应用场景 #### 形状对比与分类 普鲁克分析常应用于生物形态学领域中对不同个体间骨骼或其他解剖部位外形差异的研究。通过对多个样本进行标准化处理后再做统计分析,可以帮助科学家们识别出哪些变异是由遗传因素引起的,哪些可能是由于环境影响造成的。 #### 图像配准 在计算机视觉任务里,比如医学影像或者遥感图像处理过程中,经常会遇到需要将两张或多张图片按照其内容特征对齐的情况。此时就可以借助于普鲁克技术来完成初步的空间校正工作,从而为进一步的信息融合奠定基础。 #### 数据降维可视化 虽然不是直接用途,但是考虑到普鲁克转换本质上也是一种维度降低手段——它把多维坐标投影到了更低维度空间内的对应位置上去—因此也可以作为一种辅助工具用来展示高维数据间的相似程度或聚类趋势。 ```python from scipy.spatial import procrustes def perform_procrustes_analysis(X, Y): mtx1, mtx2, disparity = procrustes(X, Y) return mtx1, mtx2, disparity ```
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