详解博弈论的一类问题——Nim游戏

先来一道例题：

甲，乙两个人玩$Nim$取石子游戏。
$nim$游戏的规则是这样的：地上有$n$堆石子，每人每次可从任意一堆石子里取出任意多枚石子扔掉，可以取完，不能不取。每次只能从一堆里取。最后没石子可取的人就输了。假如甲是先手，且告诉你这$n$堆石子的数量，他想知道是否存在先手必胜的策略。

这道题有一个神奇的结论：当$n$堆石子的数量异或和等于$0$时，先手必胜，否则先手必败。

看网上大部分对于这个结论中异或的出现解释的都不是很清楚，这里想结合自己的想法谈一下这类问题的解法。

一、了解定义

我们要知道博弈问题通常有的两种状态：必胜态和必败态。

所谓必胜态，就是在当前的局面下，先手必胜

必败态，就是在当前的局面下，先手必败。

那么，这个游戏的必败态我们显然知道，就是所有石子堆都为$0$时。

二、从简单入手

我们可以用一个$n$元组（$a_1,a_2,\dots ,a_n$）来表示每一个局面，

例如，$(3,3,1)$表示一共三堆石子，第一二堆有三个，第三堆有一个。

显然$(3,3,1)$和$(1,3,3)$是同一种局面，即交换每堆顺序不影响答案。

如果初始局面只有一堆石子，则甲有必胜策略。

 甲可以一次把这一堆石子全部取完，这样乙就无石子可取了。

如果初始局面有两堆石子，而且这两堆石子的数目相等，则乙有必胜策略。

 因为有两堆石子，所以甲无法一次取完；
 如果甲在一堆中取若干石子，乙便在另一堆中取同样数目的石子；
 根据对称性，在甲取了石子之后，乙总有石子可取；
 石子总数一直在减少，最后必定是甲无石子可取。

对于初始局面(1)，甲有必胜策略，而初始局面(3, 3)，乙有必胜策略。

局面的加法:$(a_1,a_2,\dots ,a_n)+(b_1,b_2,\dots ,b_m)=(a_1,a_2,\dots ,a_n,b_1,b_2,\dots ,b_m)$

所以$(3)+(3)+(1)=(3,3)+(1)=(3,3,1)$。

对于局面$A,B,S$，若$S=$