博弈论——Nim游戏

题目描述

洛谷P2197 【模板】Nim 游戏

一些观察

这是个非常经典的博弈论中的公平组合游戏，即对于A、B双方而言，二者的行动限制是一样的。

博弈论的关键在于必胜态和必败态的转化，那必胜态和必败态之间又有什么关系呢？

必胜态与必输态之间的转化

首先需要明确，先手和后手可以通过一次操作相互转换，且当前行动的人具有主动优先权，可以选择从目前的状态转移到下一个状态，而这下一个状态，即后继状态往往是非常多的。那怎么判断现在的状态是必胜态还是必败态呢？

这个时候，主动优先权就显得格外重要了——如果后继状态中存在一个必输态，那当前行动者必然会选择那个必输态，从而让另一者必输。

由此可见，必胜态就是后继状态中存在最少一个必输态。

那必输态又怎么判断呢？

因为主动优先权存在，所以若该状态存在至少一个非必胜态，则当前行动人一定会选择这个非必胜态来阻止另一者获胜，故而必输态应是后继状态中全是必胜态。

具体题目分析

在本题中，若是从必输态一个个往前推，会发现时间复杂度和空间复杂度都会爆。那有没有什么简单的方法判断当前状态是什么状态呢？

这个时候，我们可以试着分析一下每个数都可以转化成的东西——二进制！

若我们求出所有数的异或和，并观察每个数的二进制位，就会发现一个性质：

• 在所有数的异或和的二进制中，某一位的数值为0则意味着存在偶数个数的二进制在这一位上为1；数值为1则意味着存在奇数个数的二进制在这一位上为1。

举个例子：

3：011
6：110
4：100

可以发现，这三个数的异或和为001，且在这三个数中，第三位有两个数的数值为1&