AT3555 fLIP【题解】

提供一篇$O(n)$的题解

首先我们知道，翻转次数的上界是$n+m$，因为如果超过$n+m$，必有一行或一列翻转了两次，这就做了重复操作。

由此我们想到了$O(n\ast m)$的做法，因为翻转i行j列时黑格个数可以算，是$i\ast m+j\ast n-i\ast j-i\ast j$（画图有助于理解），枚举$i,j$就可以做了。

有没有更快的方法？

根据这个式子我们知道，当$i$不变，$j$增加$1$时，黑格子个数增加的是定值$n-i-i$，于是我们可以枚举$i$，判断剩下的$k$是否能整除$n-i-i$，如果可以，就说明可以组成。

当然，这里剩下的$k$和$n-i-i$必须同号，如果$k>0$但是$n-i-i<0$的话，加多少都是到不了$k$的。

---------------代码在这里---------------

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<ctype.h>
#include<cstdlib>
using namespace std;
inline int read(){//快读,很快！
	int x=0,f=0;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))f|=ch=='-',ch=getchar();
	while(isdigit(ch))x=x*10+(ch^48),ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
inline void Yeah(){puts("Yes");exit(0);}//可以得到
int main(){ 
	int n=read(),m=read(),k=read();//读入
	for(int i=1;i<=n;++i){
		int kk=(k-i*m),a=n-i-i;//kk是剩下的要变成黑色的格子,a是每次增加的黑格子
		if(!kk || a && (kk>>31&1)==(a>>31&1) && kk%a==0 && kk/a<=m)Yeah();
        //!kk说明已经填完了，可以直接输出。
        //a不能等于0,否则%0会报错，
        //(kk>>31&1)==(a>>31&1)这句是判断kk和a是否同号,二进制表示的负数第一位是1
        //kk%a==0前面已经说过，就是可以组成的情况
        //kk/a必须小于等于m,因为j最多加m次
	}
	puts("No");
	return 0;
}

总感觉这题有$O(1)$的做法，有兴趣的可以自己思考一下。