Nim问题和阶梯Nim（staircase nim）

Nim问题和阶梯Nim（staircase nim）

Nim问题：

有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负（因为他此刻没有任何合法的移动）。

也可以说有 N 堆石子，第 i 堆有 A[i] 个石子，两个人轮流取，每次至少取 1 个石子，最多把该堆石子都取完（假设两个人都足够聪明）。

现在需要求的是谁先手的那一方能不能赢得比赛。

这个问题如果自己慢慢想的话是很难想出一个结果来的，这里直接给出结论，具体的证明过程不用深究。

res = A[0] ^ A[1] ^ A[2] ^…… A[n]

把每一堆石子的数量进行异或操作，得到结果 res。

若 res != 0，则先手必胜；

若 res == 0，则先手必败；

考虑必胜的局面，就是当先手面对只有一堆石子的情况，这个时候直接全部取走就可以获胜，

而这种情况 res 一定满足 res != 0。

并且在异或操作中只需要一步就可以把 res != 0 的情况转化成 res == 0 的情况。

因此如果先手面对的局面 res != 0 的话，他就可以一步取走某个数量的石子，

将 res == 0 的局面对给对方。

而在 res == 0 的局面下，不管如何取石子，都会破坏这个局面成为 res != 0 的情况。

先手方下回合继续执行上面的步骤即可，这样最终就可以获得游戏胜利。

阶梯Nim问题：