＜蓝桥杯软件赛＞零基础备赛20周--第16周--GCD和LCM

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第16周:  GCD和LCM
  最大公约数（GCD）和最小公倍数（Least Common Multiple，LCM）研究整除的性质，非常古老，2000多年前就得到了很好的研究。由于简单易懂，有较广泛的应用，是竞赛中频繁出现的考点。
最大公约数有多种英文表述：Greatest Common Divisor(GCD)、Greatest Common Denominator、Greatest Common Factor(GCF)、Highest Common Factor (HCF)。

1. GCD

1.1 GCD概念

   整数a和b的最大公约数是能同时整除a和b的最大整数，记为gcd(a, b)。
  负整数也可以算gcd，不过由于-a的因子和a的因子相同，编码时只需要关注正整数的最大公约数。下面用c++函数std::__gcd(a, b)演示gcd的计算结果。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
   
   
    cout << __gcd(45,9)   <<"\n";   // 9
    cout << __gcd(0,42)   <<"\n";   // 42
    cout << __gcd(42,0)   <<"\n";   // 42
    cout << __gcd(0,0)    <<"\n";   // 0
    cout << __gcd(20,15)  <<"\n";   // 5
    cout << __gcd(-20,15) <<"\n";   // -5
    cout << __gcd(20,-15) <<"\n";   // 5
    cout << __gcd(-20,-15)<<"\n";   // -5
    cout << __gcd((long long)98938441343232,(long long)33422)<<"\n"; //2
}

  Java没有自带GCD库函数。
  Python自带的GCD函数，只返回正整数。

from  math import *
print(gcd(45, 9))                # 9
print(gcd(0, 42))                # 42
print(gcd(42, 0))                # 42
print(gcd(0, 0))                 # 0
print(gcd(20, 15))               # 5
print(gcd(-20, 15))              # 5
print(gcd(20, -15))              # 5
print(gcd(-20, -15))             # 5
print(gcd(98938441343232, 33422)) # 2

1.2 GCD性质

  GCD有关的题目一般会考核GCD的性质。
  （1）gcd(a, b) = gcd(a, a+b) = gcd(a, k·a+b)
  （2）gcd(ka, kb) = k·gcd(a, b)
  （3）多个整数的最大公约数：gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c)。
  （4）若gcd(a, b) = d，则gcd(a/d, b/d) = 1，即a/d与b/d互素。这个定理很重要。
  （5）gcd(a+cb, b) = gcd(a, b)

1.2 GCD编码实现

   编程时可以不用自己写GCD代码，而是直接使用c++函数std::__gcd(a, b)。如果自己编码也很简单，用欧几里得算法，又称为辗转相除法，即gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)。

int gcd(int a, int b){
   
           // 一般要求a>=0, b>0。若a=b=0，代码也正确，返回0
	return b? gcd(b, a%b):a;
}

  Java的gcd需要自己写。

import java.math.BigInteger;
public class Main {
   
   
    public static void main(String[] args) {
   
   
        System.out.println(gcd(45, 9));                // 9
        System.out.println(gcd(0, 42));                // 42
        System.out.println(gcd(42, 0));                // 42
        System.out.println(gcd(0, 0));                 // 0
        System.out.println(gcd(20, 15));               // 5
        System.out.println(gcd(-20, 15));              // -5
        System.out.println(gcd(20, -15));              // 5
        System.out.println(gcd(-20, -15));             // -5
        System.out.println(gcd(new BigInteger("98938441343232"), new BigInteger("33422"))); // 2
    }
    public static long gcd(long a, long b) {
   
   
        if (b == 0)   return a;        
        return gcd(b, a % b);
    }
    public static BigInteger gcd(BigInteger a, BigInteger b) {
   
   
        return a.gcd(b);
    }
}

  python。自己写gcd()函数，可能返回负数。

def gcd(a,b):
    if b ==0:return a
    else: return gcd(b,a%b)
print(gcd(45, 9))                # 9
print(gcd(0, 42))                # 42
print(gcd(42, 0))                # 42
print(gcd(0, 0))                 # 0
print(gcd(20, 15))               # 5
print(gcd(-20, 15))              # 5
print(gcd(20, -15))              # -5
print(gcd(-20, -15))             # -5
print(gcd(98938441343232, 33422)) # 2

2. LCM

   最小公倍数LCM（the Least Common Multiple）。a和b的最小公倍数lcm(a, b)，从算术基本定理推理得到。
  算术基本定理：任何大于1的正整数n都可以唯一分解为有限个素数的乘积：$n=p_1^{c1}{p}_2^{c2}...p_m^{cm}$，其中ci都是正整数，$p_i$都是素数且从小到大。
  设：$a=p_1^{}$