第七届蓝桥杯省赛CB-10.最大比例【gcd+辗转相减（更相减损）】

原创已于 2022-04-06 23:44:08 修改 · 522 阅读

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#c++ #算法

于 2022-04-06 12:10:02 首次发布

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本文探讨了如何通过调查X星球大奖赛的随机奖金数据，推算出可能的最大等比值。利用等比数列性质，通过约分和辗转相减算法求解 gcd，揭示奖金数额间的比例规律。

Date：2022.04.06
题意描述：
X星球的某个大奖赛设了 M 级奖励。
每个级别的奖金是一个正整数。
并且，相邻的两个级别间的比例是个固定值。
也就是说：所有级别的奖金数构成了一个等比数列。
比如：16,24,36,54，其等比值为：3/2。
现在，我们随机调查了一些获奖者的奖金数。
请你据此推算可能的最大的等比值。
输入格式
第一行为数字 N ，表示接下的一行包含 N 个正整数。
第二行 N 个正整数 Xi，用空格分开，每个整数表示调查到的某人的奖金数额。
输出格式
一个形如 A/B 的分数，要求 A、B 互质，表示可能的最大比例系数。
数据范围
0<N<100
0<Xi<10^12
数据保证一定有解。
输入样例1：
3
1250 200 32
输出样例1：
25/4
输入样例2：
4
3125 32 32 200
输出样例2：
5/2
输入样例3：
3
549755813888 524288 2
输出样例3：
4/1

思路：随机调查若干个，且等比可能是分数，因此我们将所有项表示为：
$a、a*q^{x_1}、......、a*q^{x_k}$ 。
之后将 $所有项第一项\frac{所有项}{第一项}$ 约分后，所有项都会转化为等比的若干次幂，形势如下： $(pq)k1、(pq)k2、......、(pq)km(\frac{p}{q})^{k_1}、(\frac{p}{q})^{k_2}、......、(\frac{p}{q})^{k_m}$
由此不难发现，等比即找 $k_1、k_2、......、k_m$ 的 $g c d$ 即可。
但我们要注意，我们约分后并不知道 $pq\frac{p}{q}$ 的值，因此无法直接对所有幂求 $g c d$ ，但我们可以预处理出分子和分母，分别求所有分母 $q^{k_1}、q^{k_2}、......、q^{k_m}$ 和分子的 $g c d$ 再相除。但由于是对幂次求 $g c d$ ，无法直接辗转相除，因为次幂取模不好处理。因此考虑求 $g c d$ 的新方法------辗转相减（也就是更相减损术）。
我们要构造的函数无非是： $f(p^x,p^y)=p^{gcd(x,y)}$ ，因此我们反推对次幂更相减损后得到 $p^{(x,y)}==p^{(y,y-x)}，转换为函数形式即为：$ $f(py,pypx)f(p^y,\frac{p^y}{p^x})$ ，一路递归，直到后一项次幂为1弹出。
此外，注意更相减损时要用大的减小的，因此我们考虑两个次幂大小，若某一步前面的次幂<后面的次幂，交换位置。而且，题中重复元素要去掉，并不算入这些过程中。
代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
typedef long long LL;
LL n,m,k,t,a[N],b[N],x[N],cnt;
LL gcd(LL a,LL b)
{
    if(!b) return a;
    return gcd(b,a%b);
}
LL gcd_sub(LL a, LL b)
{
    if (a < b) swap(a, b);
    if (b == 1) return a;
    return gcd_sub(b, a / b);
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>x[i];
    sort(x+1,x+1+n);
    LL idx=unique(x+1,x+1+n)-x-1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        LL d=gcd(x[i],x[1]);
        a[++cnt]=x[i]/d;
        b[cnt]=x[1]/d;
    }
    LL up=a[1],down=b[1];
    for(int i=2;i<idx;i++)
    {
        up=gcd_sub(up,a[i]);
        down=gcd_sub(down,b[i]);
    }
    cout<<up<<'/'<<down;
    return 0;
}