[Jzoj] 3456. 恭介的法则

最新推荐文章于 2024-11-15 19:16:15 发布

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本文介绍了一种求解特定数学问题的算法，该问题为：给定一个整数N，求解满足1/x + 1/y = 1/(N!)的正整数对(x, y)的数量。通过数学变换将原方程转化为更易处理的形式，并利用高精度运算和质因数分解技巧，有效地解决了这一问题。

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题目大意

给出一个 $N$ ，求出满足 $1x+1y=1n!\frac 1x+\frac 1y=\frac 1{n!}$ ， $(x, y)$ 的对数。

题目解析

$1x+1y=1n!\frac 1x+\frac 1y=\frac 1{n!}$
$x+yxy=1n!\frac {x+y}{xy}=\frac 1{n!}$
$n! (x + y) = x y$
$x y - n! (x + y) = 0$
$n!)^2-n!(x+y)+xy=(n!)^2$
$x-n!)(y-n!)=(n!)^2$
因为 $x, y > n!$ ，所以枚举(n!)^2的约数即可得到 $(x, y)$
也就是求出 $n!)^2$ 的约数个数
高精压位

有一个结论： $n!$ 分解质因数之后质数 $P$ 的指数为 $∑c>1,pc<=n⌊npc⌋\sum_{c>1,p^c<=n} \lfloor \frac n{p^c} \rfloor$

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 1000005
#define M 100000000
using namespace std;
bool vis[N];
ll n,ans[N],t,k=1;
ll cal(ll n,ll p)
{
    if(n<p) return 0;
    else return n/p+cal(n/p,p);
}
void mul(ll x)
{
	for(int i=1;i<=ans[0];i++)
	 ans[i]*=x;
    for(int i=1;i<=ans[0];i++)
    {
      ans[i+1]+=ans[i]/M;
      ans[i]%=M;
    }
    while(ans[ans[0]+1]>0)
    {
      ans[0]++;
      ans[ans[0]+1]+=ans[ans[0]]/M;
      ans[ans[0]]%=M;
    }
}
int main()
{
	ans[0]=ans[1]=1;
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=2;i<=n;i++)
	 if(!vis[i])
	  for(int j=i+i;j<=n;j+=i)
	   vis[j]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	 if(!vis[i])
	 {
	   t=2*cal(n,i)+1;
	   if(t*k>M)
	   {
	   	 mul(k);
	   	 k=1;
	   }
	   k*=t;
	 }
	if(k>1) mul(k);
	printf("%lld",ans[ans[0]]);
	for(int i=ans[0]-1;i>=1;i--)
	 printf("%08lld",ans[i]);
	return 0;
}