[Jzokj 1038.【SCOI2009】游戏

题目大意

$windy$学会了一种游戏。 对于$1$到$N$这N个数字，都有唯一且不同的$1$到$N$的数字与之对应。 最开始$windy$把数字按顺序$1，2，3，\dots \dots ，N$写一排在纸上。 然后再在这一排下面写上它们对应的数字。 然后又在新的一排下面写上它们对应的数字。 如此反复，直到序列再次变为$1，2，3，\dots \dots ，N$。 这时，我们就有若干排1到N的排列。 现在$windy$想知道，对于所有可能的对应关系，有多少种可能的排数。

题目解析

仔细分析数字的对应关系，可以发现这 $N$ 个数会组成很多个环。设有 $K$ 个环，每 个 环 的 长 度 为 $l[i]$ ， 明 显 的 ， 他 们 最 终 还 原 为 原 序 列 的 排 数 为$LCM(l[1],l[2],l[3],...,l[k])$。设这个排数为 $A$，不妨把 $A$ 分解质因数，令$A=P_1^c$${}^1$$\ast P_1^c$${}^2$$\ast ...\ast$$P_k^c$${}^k$

由于知道互质的数的$lcm$最大，所以令序列$l$互质，即全部为质数，所以用到$DP$。

设$f[i,j]$表示前 $i$ 个质数，总和为 $j$ 的方案数，那么 $f[i,j]=\sum f[i-1,j-prime[i{]}^k]$，先把 $n$ 以内的质数筛出来，再求一遍 $DP$，答案就是$\sum f[质数总数,i]$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,pi,ans;
ll p[1005],f[1005][1005];
bool vis[1005];
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	 if(!vis[i])
	 {
	   p[++pi]=i;
	   for(int j=i*2;j<=n;j+=i)
	    vis[j]=1;
	 }
	f[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=pi;i++)
	{
	  for(int j=0;j<=n;j++) f[i][j]=f[i-1][j];
	  for(int j=p[i];j<=n;j*=p[i])
	   for(int k=j;k<=n;k++)
	    f[i][k]+=f[i-1][k-j];
	}
	for(int i=0;i<=n;i++) ans+=f[pi][i];
	cout<<ans;
}