P4158 [SCOI2009]粉刷匠

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DP。

f ( i , j ) f(i,j) f(i,j) 表示前 i i i 条木板粉刷 j j j 次能正确粉刷的最大格子数, g ( i , j , k ) g(i,j,k) g(i,j,k) 表示第 i i i 条木板上粉刷 j j j 次涂了前 k k k 个格子能正确粉刷的最大格子数,用前缀和数组记录蓝色格子数( s u m i , j sum_{i,j} sumi,j表示第 i i i 条木板到位置 j j j 有几个蓝格子),某个区间的格子数减蓝色格子数就是红色格子数。

求能正确粉刷的最大格子数,状态转移方程为: f ( i , j ) = max ⁡ ( f ( i , j ) , f ( i − 1 , j − k ) + g ( i , k , M ) ) f(i,j)=\max(f(i,j),f(i-1,j-k)+g(i,k,M)) f(i,j)=max(f(i,

### 关于 SCOI2009 WINDY 数的解法 #### 定义与问题描述 WINDY数是指对于任意两个相邻位置上的数字,它们之间的差至少为\(2\)。给定正整数区间\([L, R]\),计算该范围内有多少个WINDY数。 #### 动态规划方法解析 为了高效解决这个问题,可以采用动态规划的方法来处理。定义状态`dp[i][j]`表示长度为`i`且最高位是`j`的WINDY数的数量[^3]。 - **初始化** 对于单个数字的情况(即只有一位),显然每一位都可以单独构成一个合法的WINDY数,因此有: ```cpp dp[1][d] = 1; // d ∈ {0, 1,...,9} ``` - **状态转移方程** 当考虑多位数时,如果当前位选择了某个特定数值,则下一位的选择会受到限制——它必须满足与前一位相差不小于2的要求。具体来说就是当上一高位为`pre`时,当前位置可选范围取决于`pre`的具体取值: - 如果`pre >= 2`, 则可以选择`{0... pre-2}` - 否则只能从剩余的有效集合中选取 这样就可以通过遍历所有可能的状态来进行状态间的转换并累加结果。 - **边界条件处理** 特殊情况下需要注意的是,在实际应用过程中还需要考虑到给出区间的上下限约束。可以通过逐位比较的方式判断是否越界,并据此调整有效状态空间大小。 ```cpp // 计算不超过num的最大windy数数量 int calc(int num){ int f[15], g[15]; memset(f, 0, sizeof(f)); string s = to_string(num); n = s.size(); for (char c : s) { a[++len] = c - '0'; } // 初始化f数组 for (int i=0;i<=9;++i)f[1][i]=1; // DP过程省略... return sum; } long long solve(long long L,long long R){ return calc(R)-calc(L-1); } ``` 此代码片段展示了如何利用预处理好的`dp`表快速查询指定范围内的WINDY数总量。其中`solve()`函数用于返回闭区间\[L,R\]内符合条件的总数;而辅助函数`calc()`负责根据传入参数构建相应的状态序列并最终得出答案。
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