[Jzoj] 2197. 三核苷酸

题目描述

三核苷酸是组成$DNA$序列的基本片段。具体来说，核苷酸一共有$4$种，分别用$’A’，’G’，’C’，’T’$来表示。而三核苷酸就是由$3$个核苷酸排列而成的$DNA$片段

三核苷酸一共有$64$种。给定一个长度为$L$的$DNA$序列，一共可以分辨出$（L-2）$个三核苷酸。现在我们想用一些统计学的方法来进行一些分析，步骤如下：

$1.$对于这$（L-2）$个三核苷酸，我们从左到右给予编号，分别为$1$到$L-2$。

$2.$从这$（L-2）$个三核苷酸挑选一对出来，一共有$(L-2)\ast (L-3)/2$种可能。如果某一对三核苷酸是一样的，我们就记录他们之间的距离。他们之间的距离定义为他们的编号之差。

$3.$根据我们所记录的“样本数据”，我们现在需要计算样本数据的方差。如果样本的大小$n=0$，那么我们认为$S2=X=0$。

题目解析

设$ave$为平均数,$k$为有多少对,$t[i]$为有每对的值对,答案是

$ANS=(ave\ast ave\ast k+sum(t[i{]}^2)-2\ast ave\ast sum(t[i]))/k$

由此可知，不用得到每个$t[i]$,只要知道所有$t[i]$的和以及平方和。

设$a[i]$为每对的位置,$cnt[i]$为有多少个片段与$i$的相同,$sum[i]$为$t[i]$的和,$sqr[i]$为$t[i]$的平方和

$sum[a[i]]+=cnt[a[i]]\ast i-sums[a[i]]${加入第$i$段时更新$t[i]$的和}

$sqr[a[i]]+=cnt[a[i]]\ast i\ast i+sqrs[a[i]]-2\ast i\ast sums[a[i]]${根据平方和公式，加入第$i$段时更新$t[i]$的平方和}

最后化简公式可得$ans=$所有$t[i]$的平方和$-t[i]$和的平方

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100005
using namespace std;
int T;
long long a[N],cnt[N],sqrs[N],sums[N],sum[N],sqr[N],gs,x,y;
double ans;
char c[N];
string s;
int main()
{
	freopen("tri.in","r",stdin);
	freopen("tri.out","w",stdout);
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
	  for(int i=111;i<=444;i++)
	   sqr[i]=sum[i]=sqrs[i]=sums[i]=cnt[i]=0; 
	  scanf("%s",c);
	  s=c;
	  for(int i=0;i<s.size();i++)
	   if(s[i]=='A') a[i]=1;
	   else if(s[i]=='G') a[i]=2;
	   else if(s[i]=='C') a[i]=3;
	   else a[i]=4;
	  for(int i=0;i<s.size()-2;i++)
	   a[i]=a[i]*100+a[i+1]*10+a[i+2];
	  for(int i=0;i<s.size()-2;i++)
	  {
	  	sqr[a[i]]+=cnt[a[i]]*i*i+sqrs[a[i]]-2*i*sums[a[i]]; 
	  	sum[a[i]]+=cnt[a[i]]*i-sums[a[i]];
	  	sqrs[a[i]]+=(long long)i*i;
	  	sums[a[i]]+=i;
	  	cnt[a[i]]++;
	  }
	  gs=x=y=ans=0;
	  for(int i=111;i<=444;i++)
	   gs+=cnt[i]*(cnt[i]-1)/2,x+=sqr[i],y+=sum[i];
	  if(gs==0) ans=0;
	  else ans=(1.0*x/gs)-(1.0*y/gs)*(1.0*y/gs);
	  printf("%0.6lf\n",ans);
	}
}