[Jzoj] 3845. 简单题

最新推荐文章于 2021-09-18 17:49:24 发布

原创最新推荐文章于 2021-09-18 17:49:24 发布 · 205 阅读

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本文探讨了一种特殊的图论问题，即寻找一个给定无向图的美丽生成仙人掌图，其中包含最多数量的边。仙人掌图是一种特殊的无向图，每条边最多属于一个简单环。通过定义美丽生成仙人掌图的特性，文章提出了一种动态规划和贪心策略相结合的方法，以确定最优解。

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题目描述

dzy 手上有一张n 个点m 条边的联通无向图，仙人掌是一张每条边最多在一个简单环内的联通无向图。他想求这个无向图的生成仙人掌中最多有多少条边。
但是dzy 觉得这个问题太简单了，于是他定义了“美丽的生成仙人掌”，即在一个生成仙人掌中如果满足对于任意编号为i，j(i < j) 的两点，存在一条它们之间的简单路径上面有j-i+1 个点，则这个仙人掌是美丽的。
他现在想要知道这张图的美丽的生成仙人掌中最多有多少条边，你能帮帮他吗？

题目解析

研究题目可以发现，美丽的生成仙人掌中 $i$ 和 $i + 1$ 中必定有一条边。所以问题变成了：我们在一条链上加上若干条边使得得到的图是仙人掌且边数量最大。

显而易见，每一条非链边对应了链上的一个区间。于是问题就变成了选出最多数量的线段使得其互不相交。

这个可以用 dp 来实现，令 F[i]为右端点最大为 i 的区间的答案。则有：
$F [i] = m a x (F [j] + 1 (i 和 j 之间存在一条边) ， F [i - 1])$
对于 $i$ 和 $j$ 之间存在一条边，可以用到贪心，只取距离最近的点连边。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 100005
using namespace std;
ll x,y,t,n,m;
ll g[N],f[N];
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
	  cin>>x>>y;
	  if(x>y) swap(x,y);
	  if(x<y-1&&g[y]<x)
	   g[y]=x;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 if(g[i]>0)
	 {
	   if(f[g[i]]+1>f[i-1]) f[i]=f[g[i]]+1;
	   else f[i]=f[i-1];
 	 }
 	 else f[i]=f[i-1];
 	 cout<<f[n]+n-1;
}