【JZOJ3845】简单题【贪心】

最新推荐文章于 2022-01-07 16:16:58 发布

原创最新推荐文章于 2022-01-07 16:16:58 发布 · 537 阅读

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本文探讨了一种特殊类型的无向图——美丽仙人掌图的生成问题，旨在找到一张给定图中最大边数的美丽仙人掌子图。美丽仙人掌是一种特殊的联通无向图，其每条边至多属于一个简单环，且满足特定的路径长度条件。文章详细阐述了解决这一问题的算法思路，包括关键的数据结构设计和贪心策略。

题目大意：

dzy 手上有一张n 个点m 条边的联通无向图，仙人掌是一张每条边最多在一个简单环内的联通无向图。他想求这个无向图的生成仙人掌中最多有多少条边。
但是dzy 觉得这个问题太简单了，于是他定义了“美丽的生成仙人掌”，即在一个生成仙人掌中如果满足对于任意编号为i，j(i < j) 的两点，存在一条它们之间的简单路径上面有j-i+1 个点，则这个仙人掌是美丽的。
他现在想要知道这张图的美丽的生成仙人掌中最多有多少条边，你能帮帮他吗？

思路：

首先，一棵“美丽仙人掌”的所有点权一定为一个连续的区间 $[l, r]$ ，并且一定含有一条 $l→l+1→l+2→...→rl\to l+1\to l+2\to ... \to r$ 的链。
如果一棵美丽仙人掌中的一个节点 $x$ 所连的边不包含 $x - 1, x + 1$ ，那么对于 $x$ 所连接的点，它们之间的距离为0，但是它所连接的点 $y$ 不是 $x - 1$ 和 $x + 1$ ，它们之间就不满足“对于任意编号为 $i, j (i < j)$ 的两点，存在一条它们之间的简单路径上面有 $j - i + 1$ 个点”。
所以我们设 $n x t [i]$ 表示 $i$ 是否有一条边连接着 $i + 1$ ， $l a s t [i]$ 表示 $i$ 所连的边 $(i, x)$ 中，满足 $x > i$ 时 $x$ 的最小值。注意边 $(i, i + 1)$ 至少有有两条以上才可以存进 $l a s t [i]$ 中。
那么枚举美丽仙人掌中的点权最小的节点 $l$ ，如果 $n x t [l] = 1$ ，那么就让美丽仙人掌中最大的节点 $r + +$ 。那么这样就保证了美丽仙人掌含有一条 $l→l+1→l+2→...→rl\to l+1\to l+2\to ... \to r$ 的链。
然后我们可以在这条链上加一些环，要求这些环没有公共边。
所以就将 $i∈[l,r]i\in [l,r]$ 的每一个 $l a s t [i]$ 和 $i$ 按 $l a s t [i]$ 从小到大排序。然后贪心选边即可。

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N=100010,Inf=1e9;
int n,m,ans,last[N];
bool nxt[N];

struct node
{
	int x,y;
}a[N];

bool cmp(node x,node y)
{
	return x.x<y.x;
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	memset(last,0x3f3f3f3f,sizeof(last));
	for (int i=1,x,y;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		if (x>y) swap(x,y);
		if (y==x+1 && nxt[x]==1) last[x]=y;
		if (y==x+1) nxt[x]=1;
		if (y<last[x] && y!=x+1) last[x]=y;
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		int j=i,cnt=0,x=i,tot=0,l=0;
		for (;nxt[j];j++)
		{
			a[++tot].x=last[j];
			a[tot].y=j;
		}
		sort(a+1,a+1+tot,cmp);
		for (int i=1;i<=tot;i++)
			if (a[i].y>=l && a[i].x<=Inf)
			{
				l=a[i].x;
				cnt++;
			}
		ans=max(ans,j-i+cnt);
		i=j;
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}