luogu P3811 【模板】乘法逆元

最新推荐文章于 2025-05-08 20:10:13 发布

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本文深入探讨了求解逆元的多种方法，包括欧拉定理、费马小定理、扩展欧几里得算法、线性递推以及阶乘逆元法。通过实例代码展示了如何使用线性递推法高效求解逆元，适用于特定的数据范围。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

在这里插入图片描述

analysis

题意很明确:求逆元

如何求逆元:

欧拉定理(费马小定理)

欧拉定理: $若(a,n)=1,则a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod n$
费马小定理: $若(a,n)=1且n为素数,则a^{n-1}\equiv 1\pmod n$

这两种方法都是:先求出 $\Phi(n)-1$ (若n为素数,那么就等于n-1),然后一波快速幂求出 $a^{\Phi(n)-1}就得到了a的逆元$

扩展欧几里得(exgcd)

不会?没关系!

线性递推

$设inv(i)=i^{-1}$
$则inv(i)\equiv k\times inv(p\pmod i)\pmod p,k和p,i取值有关(可以自己去推)$
其实就是说:i的逆元和(p%i)的逆元之间有代数关系
要推导的话,考虑: $p=\lfloor \frac{p}{i} \rfloor+p\pmod i$ ,以此构造关于i和p%i的逆元的等式

阶乘逆元法

在这里插入图片描述

但介于这道题的数据范围,好像只能用线性递推(或阶乘逆元)

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define loop(i,start,end) for(register int i=start;i<=end;++i)
#define anti_loop(i,start,end) for(register int i=start;i>=end;--i)
#define clean(arry,num) memset(arry,num,sizeof(arry))
#define re register
#define ll long long
const int maxn=3e6+10;
ll inv[maxn];
int a,mod;
int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("datain.txt","r",stdin);
	#endif 
	scanf("%d%d",&a,&mod);
    inv[1]=1;
    printf("%lld\n",inv[1]);
    loop(i,2,a){
    	inv[i]=mod+(-mod/i*inv[mod%i])%mod;//要保证逆元大于零,利用剩余系来等价转化
    	printf("%lld\n",inv[i]);
	}
    return 0;
}