P3811 【模板】乘法逆元

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P3811
AC记录：Accepted

题目大意

给定$n,p$求$1\cdots n$中所有整数在模$p$意义下的乘法逆元。

输入格式

一行两个正整数$n,p$。

输出格式

输出$n$行，第$i$行表示$i$在模$p$下的乘法逆元。

$\mathbf{S}\mathbf{a}\mathbf{m}\mathbf{p}\mathbf{l}\mathbf{e}$ $\mathbf{I}\mathbf{n}\mathbf{p}\mathbf{u}\mathbf{t}$

10 13

$\mathbf{S}\mathbf{a}\mathbf{m}\mathbf{p}\mathbf{l}\mathbf{e}$ $\mathbf{O}\mathbf{u}\mathbf{t}\mathbf{p}\mathbf{u}\mathbf{t}$

1
7
9
10
8
11
2
5
3
4

$\mathbf{H}\mathbf{i}\mathbf{n}\mathbf{t}\&\mathbf{E}\mathbf{x}\mathbf{p}\mathbf{l}\mathbf{a}\mathbf{i}\mathbf{n}$
对于$3$来说，他在模$13$意义下的乘法逆元为$9$，因为$9$是最小的一个正整数解使得方程$3x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}13)$成立。

数据范围

对于$100\%$的数据，$1\le n\le 3\times 10^6,n<p<20000528$。
输入保证$p$为素数。

解题思路

$\text{⚠ 警告}\text{此题时间限制仅有500ms!}$

由于这恐怖的时限，所以作者这里用的是线性求逆元的方法。

定义

当$a$与$p$互质时，使得方程$ax\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$成立的最小正整数解称为$a$在模$p$意义下的乘法逆元，记为$a^{-1}$。

解法

设$p=ka+r$，其中$r=p\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}a,k=\lfloor \frac{p}{a}\rfloor$。
则可以列出一个方程：
$$ka+r\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$
两边同时乘上$a^{-1}\times r^{-1}$，得
$$k{r}^{-1}+a^{-1}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$
移项，得
$$a^{-1}\equiv -k{r}^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$
代入$r=p\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}a,k=\lfloor \frac{p}{a}\rfloor$，得
$$a^{-1}\equiv -\lfloor \frac{p}{a}\rfloor \cdot (p\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}a{)}^{-1}$$
设$i$的乘法逆元为$in{v}_i$，代入原式得
$$a^{-1}\equiv -\lfloor \frac{p}{a}\rfloor \cdot in{v}_{p\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}a}$$
由于$p\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}a$一定是小于$a$的，所以$in{v}_{p\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}a}$也一定会在$in{v}_a$之前出现，直接遍历一遍就可以了。

上代码

#include<cstdio>

using namespace std;

long long   n,p;
long long   inv[3000010];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&p);
    inv[0]=0;
    inv[1]=1;
    printf("1\n");
    for(int i=2; i<=n; i++)
    {
        inv[i]=(long long)p-(p/i)*inv[p%i]%p;
        printf("%d\n",inv[i]);
    }
    return 0;
}

完美切题$\sim$