欧几里德算法（辗转相除法）的证明

最新推荐文章于 2023-07-16 11:20:02 发布

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#辗转相除法

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本文详细介绍了求解两个整数最大公约数的两种证明方法。首先通过数学归纳法，证明了任意公约数d都是b和a%b的公约数，反之亦然，从而得出gcd(a,b)=gcd(a,a%b)的结论。其次，通过设定最大公约数c，进一步证明了此等式的正确性。这两套证明方法为理解和应用最大公约数算法提供了坚实的理论基础。

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内容

gcd(a,b)=gcd(a,a mod b）

证法一

//证明某个d是b和a%b的公约数
a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数，且r<b），则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，记作d|a,d|b，即a和b都可以被d整除。

而r = a - kb，两边同时除以d，r/d=a/d-kb/d=m，由等式右边可知m为整数，因此d|r

因此d也是b,a mod b的公约数

//证明某个d是a和b的公约数
假设d是b,a mod b的公约数, 则d|b,d|(a-k*b),k是一个整数。
 
进而d|a.因此d也是a,b的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

证法二

第一步：令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc
第二步：可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c
第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数
第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd,n=yd,(d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数≥cd，而非c，与前面结论矛盾】
从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)，得证