欧几里得辗转相除法证明及推论

一、辗转相除法定义

辗转相除法：以大数除以小数，如果能整除，那么小数就是所求的最大公约数（Greatest CommonDivisor：gcd）。否则就用余数来除刚才的除数；再用这新除法的余数去除刚才的余数。依此类推，直到一个除法能够整除，这时作为除数的数就是所求的最大公约数。即：gcd（x,y）表示x与y的最大公约数，有gcd(x,y)=gcd（y,x%y），如此便可把原问题转化为求两个更小数的公约数，直到其中一个数为0，剩下的另外一个数就是两者的最大公约数。

• 例如：求 4453 和 5767 的最大公约数时，可作如下除法．
  5767÷4453＝1 余 1314
  4453÷1314＝3 余 511
  1314÷511 ＝2 余 292
  511 ÷292 ＝1 余 219
  292 ÷219 ＝1 余 73
  219÷73＝3 于是得知，5767 和 4453 的最大公约数是 73。辗转相除法适用比较广，比短除法要好得多，它能保证求出任意两个数的最大公约数。

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二、欧几里得辗转相除法证明

辗转相除法就是给出了一个关系：$gcd（a,b）=gcd(b,r)$，其中a、b、r满足a=bq+r。
设u同时整除a和b，则有
$$a=su,b=tu$$
则$r=a-bq=su-tuq=(s-tq)u$，得到u也整除r。反过来，每一个整除b和r的整数$v$，则有
$$b=s^{\prime }v，r=t^{\prime }v.$$
则$a=bq+r=s^{\prime }vq+t^{\prime }v=(s^{\prime }q+t^{\prime })v$，得到$v$也整除a。

综上：a和b的每一个公因子也是b和r的一个因子，反之亦然。所以a和b的全体公因子集合就与b和r的全体公因子集合相同。所以gcd（a,b）=gcd(b,r)。

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三、推论

推论一：如果$d=gcd(a,b)$，则能找到正的或负的整数$k$和$l$，使得$d=ka+lb.$

我们在使用辗转相除法时，由于$gcd(a,0)=a$,我们可以假设$b\ne 0$。这样我们能写出如下
$a=b{q}_1+r_1(0<r_1<b)$公式一
$b=r_1{q}_2+r_2(0<r_2<r_1)$
$r_1=r_2{q}_3+r_3(0<r_3<r_2)$
$r_2=r_3{q}_4+r_4(0<r_4<r_3)$
…
只要余数$r_1,r_2,r_3,r_4.....$不是0就继续写下去。从右边的不等式，可以看出余数形成了一个严格递减序列：$b>r_1>r_2>r_3>....>0$。因此最多b步，0这个余数必然出现。
$r_{n-2}=r_{n-1}{q}_n+r_n$
$r_{n-1}=r_n{q}_{n+1}+0$
此时，我们就得到$r_n=gcd(a,b)$;

在公式一中，我们可以推出$r_1=a-q_{1}b$,所以$r_1$可以写成$k_{1}a+l_{1}b$的形式。所以
$r_2=b-q_2{r}_1=b-q_2(k_{1}a+l_{1}b)=(-q_2{k}_1)a+(1-q_2{l}_1)b=k_{2}a+l_{2}b$，显然，通过这一串余数$r_3,r_4.....$的结果，推导出$r_n=gcd(a,b)=ka+lb$。

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推论二：如果一个素数p整除乘积ab，则p必整除a或b。

因为p整除ab，所以$ab=pr$。

因素数p仅有因子p和1，所以如果p不整除a，则gcd（a，p）=1，根据上面的推论一我们能找到整数$k$和$l$，使得$1=ka+lp$.在等式两边同时乘以b，我们得到：$b=kab+lpb=kpr+lpb=p(kr+lb)$，到此显然p整除b。

同理，当p不整除b时，可以证得p整除a。
综上，命题“如果一个素数p整除乘积ab，则p必整除a或b”得证。

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注意：不妨举几个例子印证推论二。

• 13是2652的一个因子，以及2652=6*442，就可以得出13是442的因子。
• 6是240的一个因子，而240=15*16，但6既不是15也不是16的因子。why？这表明p是素数这个前提是不可或缺的。