文章目录
《Josh 的复习总结之数字信号处理》系列文章目录：
Part 1——离散时间信号和系统分析基础
Part 2——离散傅里叶级数 DFS
Part 3——离散傅里叶变换 DFT
Part 4——快速傅里叶变换 FFT
Part 5——部分 FFT 蝶形图
👉 Part 6——数字滤波器的基本结构
Part 7——数字滤波器设计
1. 基本运算单元的结构图表示
| 基本运算单元 | 方框图 | 流图 |
|---|---|---|
| 单位延时 |  |  |
| 常数乘法器 |  |  |
| 加法器 |  |  |
2. IIR（Infinite Impulse Response）数字滤波器的基本结构
IIR 数字滤波器的结构特点
系
统
函
数
：
H
(
z
)
=
Y
(
z
)
X
(
z
)
=
∑
k
=
0
M
b
k
z
−
k
1
−
∑
k
=
1
N
a
k
z
−
k
差
分
方
程
：
y
(
n
)
=
∑
k
=
1
N
a
k
y
(
n
−
k
)
+
∑
k
=
0
M
b
k
x
(
n
−
k
)
\begin{aligned} &系统函数：H\left(z\right)=\frac{Y\left(z\right)}{X\left(z\right)}=\frac{\displaystyle\sum_{k=0}^{M}{b_kz^{-k}}}{1-\displaystyle\sum_{k=1}^{N}{a_kz^{-k}}}\\ &差分方程：y\left(n\right)=\sum_{k=1}^{N}{a_ky\left(n-k\right)}+\sum_{k=0}^{M}{b_kx\left(n-k\right)} \end{aligned}
系统函数：H(z)=X(z)Y(z)=1−k=1∑Nakz−kk=0∑Mbkz−k差分方程：y(n)=k=1∑Naky(n−k)+k=0∑Mbkx(n−k)
- 系统的单位脉冲响应 h ( n ) h\left(n\right) h(n) 无限长；
- 系统函数 H ( z ) H\left(z\right) H(z) 在有限 z z z 平面（ 0 < ∣ z ∣ < ∞ 0<\left|z\right|<\infty 0<∣z∣<∞）上有极点存在；
- 存在输出到输入的反馈，递归型结构：直接Ⅰ、Ⅱ型，级、并联型。
2.1 直接Ⅰ型
将系统函数写为
H
(
z
)
=
Y
(
z
)
X
(
z
)
=
∑
k
=
0
M
b
k
z
−
k
1
−
∑
k
=
1
N
a
k
z
−
k
=
∑
k
=
0
M
b
k
z
−
k
⏟
H
1
(
z
)
×
(
1
−
∑
k
=
1
N
a
k
z
−
k
)
−
1
⏟
H
2
(
z
)
H\left( z \right) =\frac{Y\left( z \right)}{X\left( z \right)}=\frac{\displaystyle\sum_{k=0}^M{b_kz^{-k}}}{1-\displaystyle\sum_{k=1}^N{a_kz^{-k}}}=\underset{H_1\left( z \right)}{\underbrace{\sum_{k=0}^M{b_kz^{-k}}}}\times \underset{H_2\left( z \right)}{\underbrace{\left( 1-\displaystyle\sum_{k=1}^N{a_kz^{-k}} \right) ^{-1}}}
H(z)=X(z)Y(z)=1−k=1∑Nakz−kk=0∑Mbkz−k=H1(z)
k=0∑Mbkz−k×H2(z)
(1−k=1∑Nakz−k)−1则系统框图可表示为
由此可得系统的两级输入输出的微分方程
H
1
(
z
)
=
∑
k
=
0
M
b
k
z
−
k
=
U
(
z
)
X
(
z
)
⟹
u
(
n
)
=
∑
k
=
0
M
b
k
x
(
n
−
k
)
H_1\left(z\right)=\sum_{k=0}^{M}{b_kz^{-k}}=\frac{U\left(z\right)}{X\left(z\right)}\Longrightarrow u\left(n\right)=\sum_{k=0}^{M}{b_kx\left(n-k\right)}
H1(z)=k=0∑Mbkz−k=X(z)U(z)⟹u(n)=k=0∑Mbkx(n−k)
H
2
(
z
)
=
(
1
−
∑
k
=
1
N
a
k
z
−
k
)
−
1
=
Y
(
z
)
U
(
z
)
⟹
y
(
n
)
=
u
(
n
)
+
∑
k
=
1
M
a
k
y
(
n
−
k
)
H_2\left(z\right)=\left(1-\sum_{k=1}^{N}{a_kz^{-k}}\right)^{-1}=\frac{Y\left(z\right)}{U\left(z\right)}\Longrightarrow y\left(n\right)=u\left(n\right)+\sum_{k=1}^{M}{a_ky\left(n-k\right)}
H2(z)=(1−k=1∑Nakz−k)−1=U(z)Y(z)⟹y(n)=u(n)+k=1∑Maky(n−k)由微分方程可得直接Ⅰ型 IIR 滤波器的流图
2.2 直接Ⅱ型（典范型）
系统函数仍为
H
(
z
)
=
Y
(
z
)
X
(
z
)
=
∑
k
=
0
M
b
k
z
−
k
1
−
∑
k
=
1
N
a
k
z
−
k
=
∑
k
=
0
M
b
k
z
−
k
⏟
H
1
(
z
)
×
(
1
−
∑
k
=
1
N
a
k
z
−
k
)
−
1
⏟
H
2
(
z
)
H\left( z \right) =\frac{Y\left( z \right)}{X\left( z \right)}=\frac{\displaystyle\sum_{k=0}^M{b_kz^{-k}}}{1-\displaystyle\sum_{k=1}^N{a_kz^{-k}}}=\underset{H_1\left( z \right)}{\underbrace{\sum_{k=0}^M{b_kz^{-k}}}}\times \underset{H_2\left( z \right)}{\underbrace{\left( 1-\displaystyle\sum_{k=1}^N{a_kz^{-k}} \right) ^{-1}}}
H(z)=X(z)Y(z)=1−k=1∑Nakz−kk=0∑Mbkz−k=H1(z)
k=0∑Mbkz−k×H2(z)
(1−k=1∑Nakz−k)−1将系统框图变为
由此可得系统的两级输入输出的微分方程
H
2
(
z
)
=
(
1
−
∑
k
=
1
N
a
k
z
−
k
)
−
1
=
W
(
z
)
X
(
z
)
⟹
w
(
n
)
=
x
(
n
)
+
∑
k
=
1
M
a
k
x
(
n
−
k
)
H_2\left(z\right)=\left(1-\sum_{k=1}^{N}{a_kz^{-k}}\right)^{-1}=\frac{W\left(z\right)}{X\left(z\right)}\Longrightarrow w\left(n\right)=x\left(n\right)+\sum_{k=1}^{M}{a_kx\left(n-k\right)}
H2(z)=(1−k=1∑Nakz−k)−1=X(z)W(z)⟹w(n)=x(n)+k=1∑Makx(n−k)
H
1
(
z
)
=
∑
k
=
0
M
b
k
z
−
k
=
Y
(
z
)
W
(
z
)
⟹
y
(
n
)
=
∑
k
=
0
M
b
k
w
(
n
−
k
)
H_1\left(z\right)=\sum_{k=0}^{M}{b_kz^{-k}}=\frac{Y\left(z\right)}{W\left(z\right)}\Longrightarrow y\left(n\right)=\sum_{k=0}^{M}{b_kw\left(n-k\right)}
H1(z)=k=0∑Mbkz−k=W(z)Y(z)⟹y(n)=k=0∑Mbkw(n−k)由微分方程可得直接Ⅱ型 IIR 滤波器的流图
-
直接型 IIR 滤波器的结构特点
直接Ⅰ型 直接Ⅱ型 不同点 两个网络级联：第一个横向结构 M 节延时网络实现零点，第二个有反馈的 N 节延时网络实现极点。 两个网络级联：第一个有反馈的 N 节延时网络实现极点，第二个横向结构 M 节延时网络实现零点。 延时单元数：N + M
乘法器数：N + M + 1
加法器数：1延时单元数：max{N , M}
乘法器数：N + M + 1
加法器数：2相同点 系数 ak , bk 不能直接决定单个零极点，因而不能很好地进行滤波器性能控制。 极点对系数（零极点的位置）变化过于灵敏，从而使系统频率响应对系数变化过于灵敏，也就是对有限精度（有限字长）运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。 计算的累积误差较大
2.3 级联型
将系统函数按零极点因式分解，可表示为
H
(
z
)
=
∑
k
=
0
M
b
k
z
−
k
1
−
∑
k
=
1
N
a
k
z
−
k
=
A
∏
k
=
1
M
1
(
1
−
p
k
z
−
1
)
∏
k
=
1
M
2
(
1
−
q
k
z
−
1
)
(
1
−
q
k
∗
z
−
1
)
∏
k
=
1
N
1
(
1
−
c
k
z
−
1
)
∏
k
=
1
N
2
(
1
−
d
k
z
−
1
)
(
1
−
d
k
∗
z
−
1
)
H\left(z\right)=\frac{\displaystyle\sum_{k=0}^{M}{b_kz^{-k}}}{1-\displaystyle\sum_{k=1}^{N}{a_kz^{-k}}}=A\frac{\displaystyle\prod_{k=1}^{M_1}\left(1-p_kz^{-1}\right)\displaystyle\prod_{k=1}^{M_2}\left(1-q_kz^{-1}\right)\left(1-q_k^\ast z^{-1}\right)}{\displaystyle\prod_{k=1}^{N_1}\left(1-c_kz^{-1}\right)\displaystyle\prod_{k=1}^{N_2}\left(1-d_kz^{-1}\right)\left(1-d_k^\ast z^{-1}\right)}
H(z)=1−k=1∑Nakz−kk=0∑Mbkz−k=Ak=1∏N1(1−ckz−1)k=1∏N2(1−dkz−1)(1−dk∗z−1)k=1∏M1(1−pkz−1)k=1∏M2(1−qkz−1)(1−qk∗z−1)其中
A
A
A 为常数，
M
=
M
1
+
2
M
2
M=M_1+2M_2
M=M1+2M2，
N
=
N
1
+
2
N
2
N=N_1+2N_2
N=N1+2N2，
p
k
,
c
k
p_k,c_k
pk,ck分别为实数零、极点，
q
k
,
q
k
∗
q_k,q_k^\ast
qk,qk∗ 和
d
k
,
d
k
∗
d_k,d_k^\ast
dk,dk∗ 分别为复共轭零、极点。将共轭成对的复数零、极点合并为为实系数二阶多项式，得
H
(
z
)
=
A
∏
k
=
1
L
[
1
+
β
1
k
z
−
1
+
β
2
k
z
−
2
1
−
α
1
k
z
−
1
−
α
2
k
z
−
2
]
=
A
∏
k
=
1
L
H
k
(
z
)
,
L
=
⌊
N
+
1
2
⌋
H\left(z\right)=A\prod_{k=1}^{L}\left[\frac{1+\beta_{1k}z^{-1}+\beta_{2k}z^{-2}}{1-\alpha_{1k}z^{-1}-\alpha_{2k}z^{-2}}\right]=A\prod_{k=1}^{L}{H_k\left(z\right)},\ \ L=\left\lfloor\frac{N+1}{2}\right\rfloor
H(z)=Ak=1∏L[1−α1kz−1−α2kz−21+β1kz−1+β2kz−2]=Ak=1∏LHk(z), L=⌊2N+1⌋则系统框图可表示为
进一步可得级联型 IIR 滤波器的流图
- 级联型 IIR 滤波器的结构特点
- 分别调整系数 β 1 k , β 2 k \beta_{1k},\beta_{2k} β1k,β2k、 α 1 k , α 2 k \alpha_{1k},\alpha_{2k} α1k,α2k，能单独调整滤波器的第k对零、极点，而不影响其它零、极点，由此，可以方便的调整滤波器的频响性能。
- 运算的累积误差较小、所需存储单元少，可实现时分复用、组合方式多等。
2.4 并联型
将系统函数展开成部分分式的形式，可表示为
H
(
z
)
=
∑
k
=
0
M
−
N
G
k
z
−
k
+
∑
k
=
1
N
1
A
k
1
−
g
k
z
−
1
+
∑
k
=
1
N
2
β
0
k
+
β
1
k
z
−
1
1
−
α
1
k
z
−
1
−
α
2
k
z
−
2
H\left(z\right)=\sum_{k=0}^{M-N}{G_kz^{-k}}+\sum_{k=1}^{N_1}\frac{A_k}{1-g_kz^{-1}}+\sum_{k=1}^{N_2}\frac{\beta_{0k}+\beta_{1k}z^{-1}}{1-\alpha_{1k}z^{-1}-\alpha_{2k}z^{-2}}
H(z)=k=0∑M−NGkz−k+k=1∑N11−gkz−1Ak+k=1∑N21−α1kz−1−α2kz−2β0k+β1kz−1其中
G
k
,
A
k
,
g
k
,
β
0
k
,
β
1
k
,
α
1
k
,
α
2
k
G_k,A_k,g_k,\beta_{0k},\beta_{1k},\alpha_{1k},\alpha_{2k}
Gk,Ak,gk,β0k,β1k,α1k,α2k 均为实数。且当
M
<
N
M<N
M<N 时，上式不包含
∑
k
=
0
M
−
N
G
k
z
−
k
\displaystyle\sum_{k=0}^{M-N}{G_kz^{-k}}
k=0∑M−NGkz−k 项；当
M
=
N
M=N
M=N 时，上式变为
H
(
z
)
=
G
0
+
∑
k
=
1
N
1
A
k
1
−
g
k
z
−
1
+
∑
k
=
1
N
2
β
0
k
+
β
1
k
z
−
1
1
−
α
1
k
z
−
1
−
α
2
k
z
−
2
(
M
=
N
)
H\left(z\right)=G_0+\sum_{k=1}^{N_1}\frac{A_k}{1-g_kz^{-1}}+\sum_{k=1}^{N_2}\frac{\beta_{0k}+\beta_{1k}z^{-1}}{1-\alpha_{1k}z^{-1}-\alpha_{2k}z^{-2}}\ (M=N)
H(z)=G0+k=1∑N11−gkz−1Ak+k=1∑N21−α1kz−1−α2kz−2β0k+β1kz−1 (M=N)可得
M
=
N
M=N
M=N 时并联型 IIR 滤波器的系统框图和流图
- 并联型IIR滤波器的结构特点
- 通过调整系数 α 1 k , α 2 k \alpha_{1k},\alpha_{2k} α1k,α2k，可单独调整一对极点位置，但不能单独调整零点位置。
- 各并联基本节的误差互相不影响，故运算累积误差小。
- 可进行并行运算，运算速度高。
2.5 转置定理
对于单输入单输出系统，将原网络中所有支路方向倒转，并将输入 x ( n ) x\left(n\right) x(n) 和输出 y ( n ) y\left(n\right) y(n) 相互交换，则倒转后的结构与原结构的系统函数 H ( z ) H(z) H(z) 向相同。
3. FIR（Finite Impulse Response）数字滤波器的基本结构
FIR 数字滤波器的结构特点
系
统
函
数
：
H
(
z
)
=
Y
(
z
)
X
(
z
)
=
∑
n
=
0
N
−
1
h
(
n
)
z
−
n
差
分
方
程
：
y
(
n
)
=
∑
k
=
0
N
−
1
h
(
k
)
x
(
n
−
k
)
=
h
(
n
)
∗
x
(
n
)
\begin{aligned} &系统函数：H\left(z\right)=\frac{Y\left(z\right)}{X\left(z\right)}=\sum_{n=0}^{N-1}{h\left(n\right)z^{-n}}\\ &差分方程：y\left(n\right)=\sum_{k=0}^{N-1}h\left(k\right)x\left(n-k\right)=h\left(n\right)\ast x\left(n\right) \end{aligned}
系统函数：H(z)=X(z)Y(z)=n=0∑N−1h(n)z−n差分方程：y(n)=k=0∑N−1h(k)x(n−k)=h(n)∗x(n)
- 系统的单位脉冲响应 h ( n ) h(n) h(n) 有限长（ N N N 点）；
- 系统函数 H ( z ) H\left(z\right) H(z) 在 ∣ z ∣ > 0 \left|z\right|>0 ∣z∣>0 处收敛，有限 z z z 平面只有零点，全部极点在 z = 0 z=0 z=0 处（因果系统）；
- 没有输出到输入的反馈，一般为非递归型结构。
3.1 直接型（卷积型、横截型）
由 FIR 数字滤波器的差分方程
y
(
n
)
=
∑
k
=
0
N
=
1
h
(
k
)
x
(
n
−
k
)
=
h
(
n
)
∗
x
(
n
)
y\left(n\right)=\sum_{k=0}^{N=1}h\left(k\right)x\left(n-k\right)=h\left(n\right)\ast x\left(n\right)
y(n)=k=0∑N=1h(k)x(n−k)=h(n)∗x(n)可得直接型 FIR 滤波器的流图
3.2 级联型
当需要灵活方便地控制滤波器的传输零点时，可将
H
(
z
)
H\left(z\right)
H(z) 分解成实系数二阶因式的乘积形式，表示为
H
(
z
)
=
∑
n
=
0
N
−
1
h
(
n
)
z
−
n
=
∑
k
=
1
⌊
N
2
⌋
(
β
0
k
+
β
1
k
z
−
1
+
β
2
k
z
−
2
)
H\left(z\right)=\sum_{n=0}^{N-1}{h\left(n\right)z^{-n}}=\sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac{N}{2}\right\rfloor}\left(\beta_{0k}+\beta_{1k}z^{-1}+\beta_{2k}z^{-2}\right)
H(z)=n=0∑N−1h(n)z−n=k=1∑⌊2N⌋(β0k+β1kz−1+β2kz−2)可得级联型 FIR 滤波器的流图
- 级联型FIR滤波器的结构特点：
- 由于这种结构所需的系数比直接型多，所需乘法运算也比直接型多，很少用。
- 由于这种结构的每一节控制一对零点，因而通常仅在需要控制传输零点时用。
3.3 频率取样型
系统函数
H
(
z
)
H\left(z\right)
H(z) 在单位圆上作
N
N
N 等分取样的取样值就是
h
(
n
)
h\left(n\right)
h(n) 的 DFT
H
(
k
)
H\left(k\right)
H(k)。由内插公式，用
H
(
k
)
H\left(k\right)
H(k) 恢复
H
(
z
)
H\left(z\right)
H(z) 的内插公式为
H
(
z
)
=
(
1
−
z
−
N
)
⏟
H
c
(
z
)
1
N
∑
k
=
0
N
−
1
H
(
k
)
1
−
W
N
−
k
z
−
1
⏟
H
k
(
z
)
H\left( z \right) =\underset{H_c\left( z \right)}{\underbrace{\left( 1-z^{-N} \right) }}\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\underset{H_k\left( z \right)}{\underbrace{\frac{H\left( k \right)}{1-W_{N}^{-k}z^{-1}}}}}
H(z)=Hc(z)
(1−z−N)N1k=0∑N−1Hk(z)
1−WN−kz−1H(k)可见频率取样型 FIR 系统可用子 FIR 系统
H
c
(
z
)
=
1
−
z
−
N
H_c\left(z\right)=1-z^{-N}
Hc(z)=1−z−N 和子 IIR 系统
∑
k
=
0
N
−
1
H
k
(
z
)
\displaystyle\sum_{k=0}^{N-1}{H_k\left(z\right)}
k=0∑N−1Hk(z) 表示。
3.3.1 梳状滤波器 H c ( z ) H_c\left(z\right) Hc(z)
子 FIR 系统
H
c
(
z
)
=
1
−
z
−
N
H_c\left(z\right)=1-z^{-N}
Hc(z)=1−z−N 是一个由
N
N
N 节延迟单元组成的梳状滤波器，在单位圆上有
N
N
N 个等分零点。可将梳状滤波器的频率响应写为
H
c
(
e
j
ω
)
=
H
c
(
z
)
∣
z
=
e
j
ω
=
1
−
e
−
j
ω
N
=
e
−
j
ω
N
2
(
e
j
ω
N
2
−
e
−
j
ω
N
2
)
=
2
j
e
−
j
ω
N
2
sin
ω
N
2
\begin{aligned} H_c\left(e^{j\omega}\right)&=\left.H_c\left(z\right)\right|_{z=e^{j\omega}}=1-e^{-j\omega N}\\ &=e^{-j\frac{\omega N}{2}}\left(e^{j\frac{\omega N}{2}}-e^{-j\frac{\omega N}{2}}\right)=2je^{-j\frac{\omega N}{2}}\sin{\frac{\omega N}{2}} \end{aligned}
Hc(ejω)=Hc(z)∣z=ejω=1−e−jωN=e−j2ωN(ej2ωN−e−j2ωN)=2je−j2ωNsin2ωN其幅频特性
∣
H
c
(
e
j
ω
)
∣
=
2
∣
sin
ω
N
2
∣
\left|H_c\left(e^{j\omega}\right)\right|=2\left|\sin{\frac{\omega N}{2}}\right|
∣∣Hc(ejω)∣∣=2∣∣∣∣sin2ωN∣∣∣∣
3.3.2 谐振柜 ∑ k = 0 N − 1 H k ( z ) \displaystyle\sum_{k=0}^{N-1}{H_k\left(z\right)} k=0∑N−1Hk(z)
子 IIR 系统 ∑ k = 0 N − 1 H k ( z ) \displaystyle\sum_{k=0}^{N-1}{H_k\left(z\right)} k=0∑N−1Hk(z) 是由 N N N 个谐振器组成的谐振“柜”。每一个谐振器 H k ( z ) = H ( k ) 1 − W N − k z − 1 H_k\left(z\right)=\dfrac{H\left(k\right)}{1-W_N^{-k}z^{-1}} Hk(z)=1−WN−kz−1H(k) 都是一个一阶网络，在单位圆上有一极点 z k = W N − k = e j 2 π N k z_k=W_N^{-k}=e^{j\frac{2\pi}{N}k} zk=WN−k=ejN2πk，因此谐振器对频率为 ω = 2 π N k \omega=\dfrac{2\pi}{N}k ω=N2πk 的响应是 ∞ \infty ∞，是一个谐振频率为 2 π N k \dfrac{2\pi}{N}k N2πk 的无耗谐振器。并联谐振柜的极点正好各自抵消一个梳状滤波器的零点，从而使系统在频率点 ω = 2 π N k \omega=\dfrac{2\pi}{N}k ω=N2πk 的响应就是 H ( k ) H\left(k\right) H(k)。
将梳状滤波器和谐振柜级联可得到频率取样型 FIR 滤波器的结构
- 频率取样型 FIR 滤波器的结构特点：
- （优点）调整 H ( k ) H\left(k\right) H(k) 就可以有效地调整频响特性（在频率 ω k = 2 π N k \omega_k=\dfrac{2\pi}{N}k ωk=N2πk 处的响应即为 H ( k ) H\left(k\right) H(k)）。
- （优点）若 h ( n ) h\left(n\right) h(n) 长度相同，则除了各支路增益 H ( k ) H\left(k\right) H(k) 外网络结构完全相同，便于标准化、模块化。
- （缺点）有限字长效应可能导致零极点不能完全对消(梳状滤波器的零点由延时器形成，并不受量化误差影响)，导致系统不稳定。
- （缺点）系数多为复数，增加了复数乘法和存储量。
3.3.3 修正频率取样型
由于谐振器的所有极点均在单位圆上，当系数量化时，这些极点会移动，因此系统的稳定裕度为零，实际上是不能使用的。因此将所有谐振器的极点设置在半径
r
r
r 小于
1
1
1 又接近于
1
1
1 的圆周上，为了使得子 FIR 系统的零点需要和这些极点重合以相互抵消，故梳状滤波器的零点也移到半径r的圆周上。修正后的系统函数为
H
(
z
)
=
1
−
r
N
z
−
N
N
∑
k
=
0
N
−
1
H
r
(
k
)
1
−
r
W
N
−
k
z
−
1
H\left(z\right)=\frac{1-r^Nz^{-N}}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{H_r\left(k\right)}{1-rW_N^{-k}z^{-1}}
H(z)=N1−rNz−Nk=0∑N−11−rWN−kz−1Hr(k)此时谐振柜的第
k
k
k 个谐振器的极点变为
r
W
N
−
k
rW_N^{-k}
rWN−k，其中
H
r
(
k
)
H_r\left(k\right)
Hr(k) 是修正点的取样值，因为
r
≈
1
r\approx1
r≈1，则
H
r
(
k
)
=
H
(
z
)
∣
z
=
r
W
N
−
k
=
H
(
r
W
N
−
k
)
≈
H
(
W
N
−
k
)
=
H
(
k
)
H_r\left(k\right)=\left.H\left(z\right)\right|_{z=rW_N^{-k}}=H\left(rW_N^{-k}\right)\approx H\left(W_N^{-k}\right)=H\left(k\right)
Hr(k)=H(z)∣z=rWN−k=H(rWN−k)≈H(WN−k)=H(k)则修正后的系统函数可近似为
H
(
z
)
=
1
−
r
N
z
−
N
N
∑
k
=
0
N
−
1
H
(
k
)
1
−
r
W
N
−
k
z
−
1
H\left(z\right)=\frac{1-r^Nz^{-N}}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{H\left(k\right)}{1-rW_N^{-k}z^{-1}}
H(z)=N1−rNz−Nk=0∑N−11−rWN−kz−1H(k)为了使系数是实数，将共轭根合并，这些共轭根在半径为r的圆周上以实轴对称分布。由对称性
z
N
−
k
=
z
k
∗
,
W
N
−
(
N
−
k
)
=
W
N
k
=
(
W
N
−
k
)
∗
z_{N-k}=z_k^\ast,W_N^{-\left(N-k\right)}=W_N^k=\left(W_N^{-k}\right)^\ast
zN−k=zk∗,WN−(N−k)=WNk=(WN−k)∗，将第
k
k
k 个和第
N
−
k
N-k
N−k 个谐振器合并成一个实系数的二阶网络
H
k
(
z
)
≈
H
(
k
)
1
−
r
W
N
−
k
z
−
1
+
H
(
N
−
k
)
1
−
r
W
N
−
(
N
−
k
)
z
−
1
=
H
(
k
)
1
−
r
W
N
−
k
z
−
1
+
H
∗
(
k
)
1
−
r
(
W
N
−
k
)
∗
z
−
1
=
H
(
k
)
+
H
∗
(
k
)
−
H
(
k
)
r
W
N
k
z
−
1
−
H
∗
(
k
)
r
W
N
−
k
z
−
1
1
−
z
−
1
(
W
N
−
k
+
W
N
k
)
+
r
2
z
−
2
=
β
0
k
+
β
1
k
z
−
1
1
−
z
−
1
2
r
cos
(
2
π
N
k
)
+
r
2
z
−
2
\begin{aligned} H_k\left(z\right)&\approx\frac{H\left(k\right)}{1-rW_N^{-k}z^{-1}}+\frac{H\left(N-k\right)}{1-rW_N^{-\left(N-k\right)}z^{-1}}=\frac{H\left(k\right)}{1-rW_N^{-k}z^{-1}}+\frac{H^\ast\left(k\right)}{1-r\left(W_N^{-k}\right)^\ast z^{-1}}\\ &=\frac{H\left(k\right)+H^\ast\left(k\right)-H\left(k\right)rW_N^kz^{-1}-H^\ast\left(k\right)rW_N^{-k}z^{-1}}{1-z^{-1}\left(W_N^{-k}+W_N^k\right)+r^2z^{-2}}\\ &=\frac{\beta_{0k}+\beta_{1k}z^{-1}}{1-z^{-1}2r\cos{\left(\frac{2\pi}{N}k\right)+r^2z^{-2}}} \end{aligned}
Hk(z)≈1−rWN−kz−1H(k)+1−rWN−(N−k)z−1H(N−k)=1−rWN−kz−1H(k)+1−r(WN−k)∗z−1H∗(k)=1−z−1(WN−k+WNk)+r2z−2H(k)+H∗(k)−H(k)rWNkz−1−H∗(k)rWN−kz−1=1−z−12rcos(N2πk)+r2z−2β0k+β1kz−1其中
{
β
0
k
=
2
ℜ
[
H
(
k
)
]
β
1
k
=
−
2
r
ℜ
[
H
(
k
)
W
N
k
]
,
{
k
=
1
,
2
,
⋯
,
N
−
1
2
,
k
为
奇
数
k
=
1
,
2
,
⋯
,
N
2
,
k
为
偶
数
\begin{cases} \beta_{0k}=2\Re{\left[H\left(k\right)\right]}\\ \beta_{1k}=-2r\Re{\left[H\left(k\right)W_N^k\right]} \end{cases},\ \ \begin{cases} \begin{aligned} k&=1,2,\cdots,\frac{N-1}{2},\ \ &k为奇数\\ k&=1,2,\cdots,\frac{N}{2},&k为偶数 \end{aligned} \end{cases}
{β0k=2ℜ[H(k)]β1k=−2rℜ[H(k)WNk], ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧kk=1,2,⋯,2N−1, =1,2,⋯,2N,k为奇数k为偶数
当
N
N
N 为偶数时，除了共轭根，还有一对实数根，分别位于
k
=
0
,
N
2
k=0,\dfrac{N}{2}
k=0,2N 两点，则此时系统函数为
H
(
z
)
=
(
1
−
r
N
z
−
N
)
⋅
1
N
⋅
[
H
0
(
z
)
+
H
N
2
(
z
)
+
∑
k
=
1
N
2
−
1
H
k
(
z
)
]
H\left(z\right)=\left(1-r^Nz^{-N}\right)\cdot\frac{1}{N}\cdot\left[H_0\left(z\right)+H_\frac{N}{2}\left(z\right)+\sum_{k=1}^{\frac{N}{2}-1}{H_k\left(z\right)}\right]
H(z)=(1−rNz−N)⋅N1⋅⎣⎡H0(z)+H2N(z)+k=1∑2N−1Hk(z)⎦⎤ 当
N
N
N 为奇数时，除了共轭根，只有一个实数根，位于
k
=
0
k=0
k=0 处，则此时系统函数为
H
(
z
)
=
(
1
−
r
N
z
−
N
)
⋅
1
N
⋅
[
H
0
(
z
)
+
∑
k
=
1
N
−
1
2
H
k
(
z
)
]
H\left(z\right)=\left(1-r^Nz^{-N}\right)\cdot\frac{1}{N}\cdot\left[H_0\left(z\right)+\sum_{k=1}^{\frac{N-1}{2}}{H_k\left(z\right)}\right]
H(z)=(1−rNz−N)⋅N1⋅⎣⎡H0(z)+k=1∑2N−1Hk(z)⎦⎤在上两式中
H
0
(
z
)
=
H
(
0
)
1
−
r
z
−
1
,
H
N
2
(
z
)
=
H
(
N
2
)
1
+
r
z
−
1
H_0\left(z\right)=\frac{H\left(0\right)}{1-rz^{-1}},\ \ H_\frac{N}{2}\left(z\right)=\frac{H\left(\dfrac{N}{2}\right)}{1+rz^{-1}}
H0(z)=1−rz−1H(0), H2N(z)=1+rz−1H(2N)则修正频率取样型 FIR 滤波器的结构为
- 修正频率取样型 FIR 滤波器的结构特点：
- 结构有递归部分——谐振柜；又有非递归部分——梳状滤波器。
- 它的零、极点数目只取决于单位脉冲响应的长度，因而单位脉冲响应长度相同。利用同一梳状滤波器、同一结构而只有加权系数 β 0 k , β 1 k , H ( 0 ) , H ( N 2 ) \beta_{0k},\beta_{1k},H\left(0\right),H\left(\dfrac{N}{2}\right) β0k,β1k,H(0),H(2N) 不同的谐振器，就能得到不同的滤波器。
- 其结构可以高度模块化，可时分复用。
3.4 线性相位型
线性相位的因果FIR系统的单位取样响应满足
h
(
n
)
=
±
h
(
N
−
1
−
n
)
h\left(n\right)=\pm h\left(N-1-n\right)
h(n)=±h(N−1−n)即序列要么是奇对称的，要么是偶对称的。
当
N
N
N 为奇数时，系统函数可表示为
H
(
z
)
=
∑
n
=
0
N
−
1
h
(
n
)
z
−
n
=
∑
n
=
0
N
−
1
2
−
1
h
(
n
)
z
−
n
+
h
(
N
−
1
2
)
z
N
−
1
2
+
∑
n
=
N
−
1
2
+
1
N
−
1
h
(
n
)
z
−
n
=
∑
n
=
0
N
−
1
2
−
1
h
(
n
)
[
z
−
n
±
z
−
(
N
−
1
−
n
)
]
+
h
(
N
−
1
2
)
z
N
−
1
2
\begin{aligned} H\left(z\right)&=\sum_{n=0}^{N-1}{h\left(n\right)z^{-n}}=\sum_{n=0}^{\frac{N-1}{2}-1}{h\left(n\right)z^{-n}}+h\left(\frac{N-1}{2}\right)z^\frac{N-1}{2}+\sum_{n=\frac{N-1}{2}+1}^{N-1}{h\left(n\right)z^{-n}}\\ &=\sum_{n=0}^{\frac{N-1}{2}-1}h\left(n\right)\left[z^{-n}\pm z^{-\left(N-1-n\right)}\right]+h\left(\frac{N-1}{2}\right)z^\frac{N-1}{2} \end{aligned}
H(z)=n=0∑N−1h(n)z−n=n=0∑2N−1−1h(n)z−n+h(2N−1)z2N−1+n=2N−1+1∑N−1h(n)z−n=n=0∑2N−1−1h(n)[z−n±z−(N−1−n)]+h(2N−1)z2N−1 当
N
N
N 为偶数时，系统函数可表示为
H
(
z
)
=
∑
n
=
0
N
−
1
h
(
n
)
z
−
n
=
∑
n
=
0
N
2
−
1
h
(
n
)
z
−
n
+
∑
n
=
N
2
N
−
1
h
(
n
)
z
−
n
=
∑
n
=
0
N
2
−
1
h
(
n
)
[
z
−
n
±
z
−
(
N
−
1
−
n
)
]
H\left(z\right)=\sum_{n=0}^{N-1}{h\left(n\right)z^{-n}}=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}{h\left(n\right)z^{-n}}+\sum_{n=\frac{N}{2}}^{N-1}{h\left(n\right)z^{-n}}=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}h\left(n\right)\left[z^{-n}\pm z^{-\left(N-1-n\right)}\right]
H(z)=n=0∑N−1h(n)z−n=n=0∑2N−1h(n)z−n+n=2N∑N−1h(n)z−n=n=0∑2N−1h(n)[z−n±z−(N−1−n)]当序列
h
(
n
)
h\left(n\right)
h(n) 偶对称时，取“
+
+
+”号；当序列奇对称时，取“
−
-
−”号。则线性相位型 FIR 滤波器的结构为
3.5 快速卷积型（略）
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