求逆元

方法一：扩展欧几里得

a∗b≡1(modp) ;
a∗b+k∗p=1 ;

LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)//扩展欧几里得算法 
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    LL ret=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ret;
}

LL getInv(int a,int mod)//求a在mod下的逆元，不存在逆元返回-1 
{
    LL x,y;
    LL d=exgcd(a,mod,x,y);
    return d==1?(x%mod+mod)%mod:-1;
}

性能分析:

• 时间复杂度:O(logn)（实际是斐波那契数列）
• 适用范围：只要存在逆元即可求，适用于个数不多但是mod很大的时候，也是最常见的一种求逆元的方法。

方法二:费马小定理/欧拉定理

费马小定理：若p为素数，则有ap−1≡1(modp) ;
a^p−2∗a≡1(modp) ;
a^p−2 就是a在mod p意义下的逆元。

欧拉定理：若a、p互素，则有a^φ(p)≡1(modp) (费马小定理的一般形式)
a^φ(p)-1∗a≡1(modp)
a^φ(p)−1 就是a在mod p意义下的逆元。

LL qkpow(LL a,LL p,LL mod)
{
    LL ans=1,k=a%mod;
    while(p)
    {
        if(p&1)ans=ans*k%mod;
        k=k*k%mod;
        p>>=1;
    }
    return t;
}

LL getInv(LL a,LL mod)
{
    return qkpow(a,mod-2,mod);
}

性能分析：

• 时间复杂度:O(logmod)
• 适用范围：一般在mod是个素数的时候用，比扩欧快一点而且好写。
• 但是如果是合数，相信一般没人无聊到去算个欧拉函数。