求解逆元

定义：（a*b）%c,则a和b关于c互为逆元。

推论：(a/b)mod m = (a/b)*1mod m = (a/b)*b*c modm=a*c(mod m); 即a/b的模等于a*b的逆元的模；

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求解：

1：费马小定理

费马小定理：a是不能被质数p整除的正整数（费马小定理成立的条件），则有a^(p-1)=1 (mod m);
推导：a^(p-1) = 1 (mod p) = a*a^(p-2) ≡ 1 (mod p) ,则a的逆元为a^(p-2);

long long quickpow ( long long a, long long b) {
    if (b < 0) return 0;
    long long ret = 1;
    a%= mod;
    while (b) {
    if (b & 1)  ret = (ret * a) % mod ;
    b >>= 1;
    a = (a * a) % mod;
    }
    return ret ;
}
long long inv ( long long a) {
    return quickpow (a, mod - 2);
}

2：利用欧几里得拓展求解逆元

欧几里得拓展：

算法作用：求解a,b 最大公约数m 和a*x+b*y=m 的一个解
实现方法：辗转相除法;
采用递归思想，当b=0时停止递归，此时x=1,y=0;回溯后会得到一组关于二元一次方程的解

证明
考虑两个方程
:a*x1+b*y1=gcd(a,b),b*x2 +(a%b)* y2=gcd(b,a%b)
\ 由辗转相除法可得到gcd(a,b)= gcd(b,a%b)
\ 从而得到a*x1+b*y1=b*x2 +(a%b)* y2
\ 即a*x1+b*y1=b*x2 +(a -(a/b)*b)* y2
\ =a*y2+b*(x2 -(a/b)* y2)
\ 所以x1=y2 ,y1=x2 -(a/b)* y2.

a*x≡1(mod m) 等价于a*x+m*y=1 可以用扩展欧几里得求得一组解，（x+m)mod m即为a的逆元

代码实现：

#define ll long long
ll exgcd (ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
	if(b == 0)
	{//推理，终止条件1
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	ll r = exgcd (b, a%b, x, y);
	ll t = y;
	y = x - (a/b) * y;
	x = t;
	return r;// 最大公约数
}
//想要求解时：

if(exgcd (ll a, ll b, ll &x, ll &y)==1){
    x=x%b+b)%b;//此时x为最小解
}//公约数为1时才存在解

3：递推求解逆元（一般不推荐使用）

求1 到n逆元表
这个比较适合逆元比较多的时候。比如数据范围在10e5内，随机的10e5内的个数的逆元，所以是所有逆元都得求反而会快点。
代码实现：

LL inv[ maxn ];
void Prepare_inv (int n,int M){
    inv [1]=1;
    for (int i=2;i <=n;i ++){
    inv [i]=( long long )(M-M/i)* inv[M%i]%M;
    }
}