逆元的求法（分mod是素数和非素数的情况）

原创于 2020-09-30 18:33:17 发布 · 置顶 · 2.5k 阅读

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这篇博客介绍了如何在模运算中快速求解逆元。当模为素数时，可以使用递归方法，时间复杂度为O(logmod)。而对于非素数模，通过扩展欧几里得算法实现，同样能在O(logmod)的时间内求得逆元。这种方法在大整数运算和加密算法中有广泛应用。

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当mod是素数的情况，可以直接使用递归求逆元：

LL inv(LL i)
{
    if(i==1)return 1;
    return (mod-mod/i)*inv(mod%i)%mod;
}

时间复杂度：O(logmod)；

当mod不是素数且很大的情况，使用扩展欧几里得算法求逆元

LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)//扩展欧几里得算法 
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    LL ret=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ret;
}
LL getInv(int a,int mod)//求a在mod下的逆元，不存在逆元返回-1 
{
    LL x,y;
    LL d=exgcd(a,mod,x,y);
    return d==1?(x%mod+mod)%mod:-1;
}