C++ 算法篇递推

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分类专栏： C++基础算法文章标签：算法

于 2020-08-26 20:26:42 首次发布

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递推

“递推”是计算机解题的一种常用方法。利用“递推法”解题首先要分析归纳出“递推关系”。如经典的斐波那契数列问题，用 f (i)表示第 i 项的值，则 f (1) =0，f(2) =1，在 n>2 时，存在递推关系：f (n) = f(n-1) + f(n-2)。

在递推问题模型中，每个数据项都与它前面的若干个数据项（或后面的若干个数据项）存在一定的关联，这种关联一般是通过一个“递推关系式”来描述的。求解问题时，需要从初始的一个或若干数据项出发，通过递推关系式逐步推进，从而推导计算出最终结果。这种求解问题的方法叫“递推法”。其中，初始的若干数据项称为“递推边界”。

解决递推问题有三个重点：

1、建立正确的递推关系式；

2、分析递推关系式的性质；

3、根据递推关系式编程求解。

递推法分为“顺推”和“倒推”两类模型：

1、顺推，就是从问题的边界条件(初始状态)出发，通过递推关系式依次从前往后递推出问题的解；

2、倒推，就是在不知道问题的边界条件(初始状态)下，从问题的最终解(目标状态或某个中间状态)出发，反过来推导问题的初始状态。

例1、一个数字三角形

请编一个程序计算从顶到底的某处的一条路径，使该路径所经过的数字总和最大。只要求输出总和。

1、一步可沿左斜线向下或右斜线向下走；

2、三角形行数小于等于100；

3、三角形中的数字为0，1，…，99；

测试数据通过键盘逐行输入，如上例数据应以如下所示格式输入：

3 8

8 1 0

2 7 4 4

4 5 2 6 5

【算法分析】此题解法有多种，从递推的思想出发，设想，当从顶层沿某条路径走到第i层向第i+1层前进时，我们的选择一定是沿其下两条可行路径中最大数字的方向前进，为此，我们可以采用倒推的手法，设a[i][j]存放从i,j 出发到达n层的最大值，则a[i][j]=max{a[i][j]+a[i+1][j]，a[i][j]+a[i+1][j+1]}，a[1][1] 即为所求的数字总和的最大值。

例1、铺瓷砖

【问题描述】

用红色的 1×1 和黑色的 2×2 两种规格的瓷砖不重叠地铺满 n×3 的路面，求出有多少种不同的铺设方案。

【输入格式】

一行一个整数 n，0<n<1000。

【输出格式】

一行一个整数，为铺设方案的数量模12345的结果。

【输入样例】

【输出样例】

【问题分析】

用 f(n) 表示 n×3 的路面有多少种不同的铺设方案。把路面看成 n 行 3 列，则问题可以分成两种情况考虑，一种是最后一行用 3 块 1×1 的瓷砖铺设；另一种是最后两行用 1 块 2×2 和 2 块 1×1 的瓷砖铺设(最后两行就有两种铺法)，第一种铺法就转换为 f(i-1) 的问题了，第二种铺法就转换成 f(i-2) 的问题了。根据加法原理，得到的递推关系式为 f(i) = f(i-1) +f(i-2)×2，边界为 f(0)=1，f(1)=1。