自然数无序拆分

最新推荐文章于 2022-03-27 00:15:00 发布

Amber0130

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CC 4.0 BY-SA版权

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_43601103/article/details/88142419

本文深入探讨了整数分拆问题的三种算法实现：深度优先搜索、动态规划及母函数方法。通过代码示例详细解释了每种方法的原理与应用，为读者提供了理解和解决整数分拆问题的有效途径。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://icpc.upc.edu.cn/problem.php?id=10255

#include<cstdio>
using namespace std;
int n;
int dfs(int x,int y){
	if (x==1||y==1) return 1;
	if (x==y) return 1+dfs(x,x-1);
	if (x<y){
		return dfs(x,x);
	}
	if (x>y){
		return dfs(x-y,y)+dfs(x,y-1);
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	printf("%d\n",dfs(n,n));
}

#include<cstdio>
using namespace std;
int n,i,j,f[105][105];
int main() {
	scanf("%d",&n);
	for (i=1; i<=n; i++) {
		for (j=1; j<=i; j++) {
			if(i==1||j==1) {
				f[i][j]=1;
			} else if (i==j) {
				f[i][j]=1+f[i][j-1];
			} else if (i-j<j) {
				f[i][j]=f[i-j][i-j]+f[i][j-1];
			} else {
				f[i][j]=f[i-j][j]+f[i][j-1];
			}
		}
	}
	printf("%d\n",f[n][n]);
}

3.母函数

f(x)=(1+x^1+x^2+x^3....+x^n)*(1+x^2+x^4+...)*.....(1+x^n);

然后首先数为n的被分数，可以由1，2，3，4，......，n组成，就是不知道选1几个，选2几个。。。

这时候我们可以看一下母函数，设选的数字为i，选的次数为k，那么x的指数可以表示为x^(i*k)；

就像f(x)中(1+x^1+x^2+x^3....+x^n)表示1不选，1选一次，1选2次....; (1+x^2+x^4+...)表示2不选，2选1次，选2次。。。

那么我们要求的分解n的种数就是x^n前的系数（很容易想）。

怎么求x^n的系数呢，多项式相乘解决。

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int i,j,k,l,n,a1[105],a2[105];
int main(){
	for (i=0;i<=n;i++){
		a1[i]=1;
	}
	scanf("%d",&n);
	for (i==2;i<=n;i++){
		for (j=0;j<=n;j++){
			for (k=0;k+j<=n;k+=i){
				a2[k+j]+=a1[j];
			}
		}
		memcpy(a1,a2,sizeof(a1));
		memset(a2,0,sizeof(a2));
	}
	printf("%d\n",a1[n]);
}