自然数无序拆分

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原

自然数无序拆分(三种方法)

2018年12月09日 12:10:27 阅读数：125

自然数无序拆分

时间限制: 1 Sec  内存限制: 128 MB

题目描述

美羊羊给喜羊羊和沸羊羊出了一道难题，说谁能先做出来，我就奖励给他我自己做的一样礼物。沸羊羊这下可乐了，于是马上答应立刻做出来，喜羊羊见状，当然也不甘示弱，向沸羊羊发起了挑战。
可是这道题目有一些难度，喜羊羊做了一会儿，见沸羊羊也十分头疼，于是就来请教你。
题目是这样的：
把自然数Ｎ（N<＝100）分解为若干个自然数之和，求出有几种情况。
如N＝5时，有7种情况
5=1+1+1+1+1
5=1+1+1+2
5=1+1+3
5=1+2+2
5=1+4
5=2+3 
5=5
怎么样？你要加油帮助喜羊羊哦！

 

 

输入

一个自然数N(N<＝100）

 

输出

无序拆分的种数。

 

样例输入

复制样例数据

5

样例输出

7

1.递归，超级慢


 
  1. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     /**/
    
    
   
  2. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <cstdio>
    
    
   
  3. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <cstring>
    
    
   
  4. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <cmath>
    
    
   
  5. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <cctype>
    
    
   
  6. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <iostream>
    
    
   
  7. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <algorithm>
    
    
   
  8. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <map>
    
    
   
  9. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <set>
    
    
   
  10. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <vector>
    
    
   
  11. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <string>
    
    
   
  12. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <stack>
    
    
   
  13. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <queue>
    
    
   
  14. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
     
    
    
   
  15. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     typedef 
     long 
     long LL;
    
    
   
  16. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     using 
     namespace 
     std;
    
    
   
  17. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
     
    
    
   
  18. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     int n;
    
    
   
  19. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
     
    
    
   
  20. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     int dp(int x, int y){ 
     //x表示被分的数，y表示分的值
    
    
   
  21. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    	
     if(x == 
     1 || y == 
     1){
     //如果x=1，怎么分都是1种，y=1时2只有{1,1,1,...}这一种
    
    
   
  22. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    		
     return 
     1;
    
    
   
  23. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     	}
     else 
     if(x == y){ 
     // 表示被分的数与分的数相同，有两种情况，按分的数分，就{x}一种，第二种就是分比y小的数
    
    
   
  24. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    		
     return 
     1 + dp(x, x - 
     1);
    
    
   
  25. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     	}
     else 
     if(x < y){
     // 如果被分的数小于分的数，那种类和分的数同被分的数种数相同
    
    
   
  26. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    		
     return dp(x, x);
    
    
   
  27. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     	}
     else 
     if(x > y){
     //如果被分数大于分的数，那么也有两种情况，第一种情况，就是包含分的数y，并且有可能有多个，所以分的数y不变
    
    
   
  28. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    		
     return dp(x - y, y) + dp(x, y - 
     1);             
     //第二种情况就是不包含分的数y，那么从分的数为（y-1）开始分
    
    
   
  29. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     	}
    
    
   
  30. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     }
    
    
   
  31. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
     
    
    
   
  32. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     int main()
    
    
   
  33. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     {
    
    
   
  34. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    	
     //freopen("in.txt", "r", stdin);
    
    
   
  35. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    	
     //freopen("out.txt", "w", stdout);
    
    
   
  36. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
     
    
    
   
  37. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    	
     scanf(
     "%d", &n);
    
    
   
  38. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    	
     int ans = dp(n, n);
    
    
   
  39. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    	
     printf(
     "%d\n", ans);
    
    
   
  40. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
     
    
    
   
  41. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    	
     return 
     0;
    
    
   
  42. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     }
    
    
   
  43. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     /**/

 

2.dp


 
  1. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     /**/
    
    
   
  2. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <cstdio>
    
    
   
  3. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <cstring>
    
    
   
  4. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <cmath>
    
    
   
  5. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <cctype>
    
    
   
  6. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <iostream>
    
    
   
  7. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <algorithm>
    
    
   
  8. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <map>
    
    
   
  9. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <set>
    
    
   
  10. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <vector>
    
    
   
  11. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <string>
    
    
   
  12. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <stack>
    
    
   
  13. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <queue>
    
    
   
  14. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
     
    
    
   
  15. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     typedef 
     long 
     long LL;
    
    
   
  16. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     using 
     namespace 
     std;
    
    
   
  17. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
     
    
    
   
  18. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     int n;
    
    
   
  19. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     int dp[
     105][
     105];
    
    
   
  20. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
     
    
    
   
  21. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     int main()
    
    
   
  22. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     {
    
    
   
  23. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    	
     //freopen("in.txt", "r", stdin);
    
    
   
  24. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    	
     //freopen("out.txt", "w", stdout);
    
    
   
  25. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
     
    
    
   
  26. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    	
     scanf(
     "%d", &n);
    
    
   
  27. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    	
     for (
     int i = 
     1; i <= n; i++){
    
    
   
  28. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    		
     for (
     int j = 
     1; j <= i; j++){
    
    
   
  29. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    			
     if(i == 
     1 || j == 
     1) dp[i][j] = 
     1;
     // 这个和递归的情况是一样的
    
    
   
  30. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    			
     else 
     if(i == j) dp[i][j] = 
     1 + dp[i][j - 
     1];
     // 这个情况也同递归的一样
    
    
   
  31. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    			
     else 
     if(i - j < j) dp[i][j] = dp[i - j][i - j] + dp[i][j - 
     1];
    
    
   
  32. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    			
     //1.j为分的数，i为被分数，如果分完一次j还存在比j大的数，那么应该从那个数(i-j)开始分，而不是j
    
    
   
  33. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    			
     //2.如果不包含分的数j，那么从(j-1)开始分
    
    
   
  34. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    			
     else dp[i][j] = dp[i - j][j] + dp[i][j - 
     1];
    
    
   
  35. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    			
     //1.如果分完一次不存在比j大的数，那么还从j开始再分
    
    
   
  36. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    			
     //2.分的数不为j，就从j-1开始分
    
    
   
  37. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     		}
    
    
   
  38. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     	}
    
    
   
  39. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    	
     printf(
     "%d\n", dp[n][n]);
    
    
   
  40. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
     
    
    
   
  41. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    	
     return 
     0;
    
    
   
  42. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     }
    
    
   
  43. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     /**/

3.母函数

f(x)=(1+x^1+x^2+x^3....+x^n)*(1+x^2+x^4+...)*.....(1+x^n);

上面的就是母函数。。。应该就是这样

然后首先数为n的被分数，可以由1，2，3，4，......，n组成，就是不知道选1几个，选2几个。。。

这时候我们可以看一下母函数，设选的数字为i，选的次数为k，那么x的指数可以表示为x^(i*k)；

就像f(x)中(1+x^1+x^2+x^3....+x^n)表示1不选，1选一次，1选2次....; (1+x^2+x^4+...)表示2不选，2选1次，选2次。。。

那么我们要求的分解n的种数就是x^n前的系数（很容易想）。

怎么求x^n的系数呢，多项式相乘解决。


 
  1. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     /**/
    
    
   
  2. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <cstdio>
    
    
   
  3. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <cstring>
    
    
   
  4. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <cmath>
    
    
   
  5. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <cctype>
    
    
   
  6. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <iostream>
    
    
   
  7. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <algorithm>
    
    
   
  8. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <map>
    
    
   
  9. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <set>
    
    
   
  10. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <vector>
    
    
   
  11. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <string>
    
    
   
  12. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <stack>
    
    
   
  13. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     #include <queue>
    
    
   
  14. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
     
    
    
   
  15. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     typedef 
     long 
     long LL;
    
    
   
  16. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     using 
     namespace 
     std;
    
    
   
  17. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
     
    
    
   
  18. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     int n;
    
    
   
  19. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     int num1[
     105], num2[
     105];
    
    
   
  20. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
     
    
    
   
  21. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     int main()
    
    
   
  22. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     {
    
    
   
  23. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    	
     //freopen("in.txt", "r", stdin);
    
    
   
  24. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    	
     //freopen("out.txt", "w", stdout);
    
    
   
  25. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
     
    
    
   
  26. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    	
     scanf(
     "%d", &n);
    
    
   
  27. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    	
     for (
     int i = 
     0; i <= n; i++) num1[i] = 
     1;
     //开始第一个多项式的系数都为1，指数为i
    
    
   
  28. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    	
     for (
     int i = 
     2; i <= n; i++){
     //i表示选的数
    
    
   
  29. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    		
     for (
     int j = 
     0; j <= n; j++){
     //j表示第几项
    
    
   
  30. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    			
     for (
     int k = 
     0; k + j <= n; k += i){
     //k为x的指数，就是选一次i，2次i。。。
    
    
   
  31. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     				num2[j + k] += num1[j];
     //用另一个数组存储指数为j+k的x的系数，是与前一个多项式相乘
    
    
   
  32. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     			}
    
    
   
  33. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     		}
    
    
   
  34. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    		
     memcpy(num1, num2, 
     sizeof(num2));
    
    
   
  35. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    		
     memset(num2, 
     0, 
     sizeof(num2));
    
    
   
  36. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     	}
    
    
   
  37. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    	
     printf(
     "%d\n", num1[n]);
    
    
   
  38. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
     
    
    
   
  39. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    	
     return 
     0;
    
    
   
  40. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     }
    
    
   
  41. 
   
    
    
    
   
    
   
    
    
    
     /**/

 

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