动态规划的简单总结

首先从斐波那契数列来看动态规划，递推公式为：f(n+2)=f(n+1)+f(n)。
若普通求解f(n)，则需要一直往下递推，直到f(1)和f(2)为止，但用动态规划，使用dp数组储存每个阶段的f(n)，则每次f的求解都不需要循环往下计算，只需调用dp数组中n-1与n-2阶段的f值即可。
    这样大大节约运行时间，动态规划也就是做这么件事。

动态规划的使用场景：各阶段的最优解有一定的相关型，某一阶段的最优解可以根据前一阶段的最优解再计算的来。
dp数组是最优解数组，任意数据是当前情况下的最优解（动态规划的核心）
如何确定dp数组（如何计算出dp数组）是解题的关键。（找出规律）

动态规划的题型我大概将其分为两类：
一：求最优解问题。（背包问题）
二：求解的个数问题。（整数的k拆分问题）

最优解问题：
最优解问题最有代表性的是背包问题。

问题描述：
有n个重量分别为{w1，w2，…，wn}的物品，它们的价值分别为{v1，v2，…，vn}，给定一个容量为W的背包。
设计从这些物品中选取一部分物品放入该背包的方案，每个物品要么选中要么不选中，要求选中的物品不仅能够放到背包中，而且重量和为W具有最大的价值。

问题解析：
对于可行的背包装载方案，背包中物品的总重量不能超过背包的容量。 最优方案是指所装入的物品价值最高，即 v1x1+v2x2+…+vn*xn（其中xi取0或1，取1表示选取物品i）取得最大值。

问题求解：
设置二维动态规划数组dp，dp[i][r]表示背包剩余容量为r（1≤r≤W），已考虑物品1、2、…、i（1≤i≤n）时背包装入物品的最优价值。显然对应的状态转移方程如下：
dp[i][0]=0（背包不能装入任何物品，总价值为0） 边界条件dp[i][0]=0（1≤i≤n）―边界条件

dp[0][r]=0（没有任何物品可装入，总价值为0） 边界条件dp[0][r]=0（1≤r≤W）―边界条件

dp[i][r]=dp[i-1][r] 当r<w[i]时，物品i放不下

dp[i][r]= MAX{dp[i-1][r]，dp[i-1][r-w[i]]+v[i]} 否则在不放入和放入物品i之间选最优解

由此也易得dp[n]W]为所求。

附上代码：

void Knap()			
{  int i，r;
   for (i=0;i<=n;i++)	
	      dp[i][0]=0;
   for (r=0;r<=W;r++)	
	      dp[0][r]=0;
   for (i=1;i<=n;i++)
   {  for (r=1;r<=W;r++)
        if (r<w[i])
           dp[i][r]=dp[i-1][r];
        else
           dp[i][r]=max(dp[i-1][r]，dp[i-1][r-w[i]]+v[i]);
   }
}

解的个数问题：
典型问题：整数的k项拆分。

问题描述：
一个正整数x拆成k个正整数，k个正整数的和为x，k个正整数可以重复。
（5=1+1+3与5=1+3+1为同解）

问题解析：
问题很简单，即找出x1,x2,x3,…,xk的和等于x，求有多少组这样的x1,x2,x3,…,xk满足条件。

问题求解：
设置二维动态规划数组dp，dp[i][r]表示i的r拆分，显然对应的状态转移方程如下：

dp[i][0]=0（一个整数的0拆分等于0） 边界条件dp[i][0]=0（1≤i≤n）―边界条件

dp[0][r]=0（0的r拆分为0） 边界条件dp[0][r]=0（1≤r≤W）―边界条件

dp[i][r]=0 当i<k时。 i不可能拆出k项来。

dp[i][r]=dp[i][r-1]+1 当i=k时。(多出来的那一种组合全为1）

dp[i][r]=dp[i-1][r-1]+dp[i-r][r] 当i>k时。（即含1的情况和不含1的情况的和）

所以dp[x][k]为所求。

附上代码：

void DP()
{
    int i=0,j=0;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=1;j<=k;j++)
		{
			if(j==1)
			{
				dp[i][j]=1;
				continue;
			}
			if(i==j)
			{
				dp[i][j]=1;
				continue;
			}
			if(i<j)
				dp[i][j]=0;
			else
				dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j];

		}

	}
}

从上面的总结可以看出，动态规划求解问题的关键在于状态转移方程的归纳，也就是dp数组的求解，方法很多，我觉得逐步分析是最可行的，有从前向后推导也可以从后向前推导。

在这里另外介绍一下滚动数组：(关系到dp数组空间的浪费）
从上面的问题可以看出，每次求解过程中只涉及到了i,i-1两个层次，求出来的解算一个层次，一共就三个层次，而我们却用了大量的空间储存了多余的解，由此引入滚动数组。
以斐波那契数列求解为例：

int Fib2(int n)		
{  int dp[3];
   dp[1]=1; dp[2]=1;
   for (int i=3;i<=n;i++)
      dp[i % 3]=dp[(i-2)%3]+dp[(i-1)%3];
   return dp[n%3];
}

很多二维数组在求解过程中都可以用滚动数组来代替（是个强有力的办法）。

dp很强也很难，多加练习！！！