0/1背包问题（回溯法、分支限界法、动态规划法、贪心法）（C++版）

此篇整理自李老师上课PPT           --- On one way by myself

（1）问题描述

    有n个重量分别为{ w1，w2，…，wn}的物品，它们的价值分别为{ v1，v2，…，vn}，给定一个容量为W的背包。设计从这些物品中选取一部分物品放入该背包的方案，每个物品要么选中要么不选中，要求选中的物品不仅能够放到背包中，而且重量和为W具有最大的价值。

输入：

3                   //  n个物品假设为3
16 45            //  第一个物品的重量和价值
15 25            //  第二个物品的重量和价值
15 25            //  第三个物品的重量和价值

30             //  背包容量W

输出：

0 1 1             //  第几个物品选中则为1，不选中则为0

50             //  最大价值

（2）回溯法与分支限界法比较（先区别这两个）

方法	解空间搜索方式	存储结点的数据结构	结点存储特性	常用应用
回溯法	深度优先	栈	活结点的所有可行子结点被 遍历后才从栈中出栈	找出满足条件的所有解
分枝限界法	广度优先	队列，优先队列	每个结点只有一次成为活结点的机会	找出满足条件一个解或者特定意义的最优解

    首先声明：此两种都有解空间树，问题的解空间树是虚拟的，并不需要在算法运行时构造一棵真正的树结构，然后再在该解空间树中搜索问题的解，而是只存储从根结点到当前结点的路径。

    例如：以下求集合{a，b，c}的幂集的解空间树：

    第一层为空，第二层为a的选择（左子树）与不选择（右子树），第三层为b的选择（左子树）与不选择（右子树），第四层为c的选择（左子树）与不选择（右子树）；求解过程分为3步，分别对a、b、c元素做决策，该解空间的每个叶子结点都构成一个解（很多情况并非如此）；在一个解空间中搜索解的过程构成搜索空间，上图中所有叶子结点都是解，所以该问题的解空间和搜索空间相同。

    再比如：下图是四皇后问题的搜索空间，图中每个状态由当前放置的皇后的行列号构成。它给出了四皇后问题的全部搜索过程，只有18个结点，其中标有X号的结点无法继续扩展。

    （1，*，*，*）表示第一行第一列放个皇后，其他待搜索；（2,4,1,3）表示第一行第二列、第二行第四列、第三行第一列和第四行第三列各放一个皇后，构成一个解；（3,1,4,2）表示第一行第三列、第二行第一列、第三行第四列和第四行第二列各放一个皇后，构成另一个解；

最后说明，活节点：指自身已生成但其孩子结点没有全部生成的结点；扩展节点：是指正在产生孩子结点的结点。

死节点：指由根结点到该结点构成的部分解不满足约束条件，或者其子结点已经搜索完毕

（3）回溯法

    就是回退，如四皇后问题，最左侧，放完第一行第一列和第二行第三列后，无法再向下扩展，则向父节点回退，父节点如果还有向下扩展的其他节点则扩展，不能扩展则再向上回退；代码的世界也有哲学，前进的道路走不通时，是深邃骇人的断崖？是飞流急湍的河流？于我何干，我潇洒回退你耐我何？

    回溯法搜索解空间时，通常采用两种策略避免无效搜索，提高回溯的搜索效率: