ZOJ-3707 斐波那契数论

jesHrz

于 2019-03-02 16:49:56 发布

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分类专栏： ACM 数学动态规划

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该博客主要探讨ZOJ-3707题目，研究如何找到满足特定条件的Prime S，即集合中不包含连续数字且其元素的最大公约数为1的子集。博主通过动态规划计算出s[n]的值，并发现它与斐波那契数列的关系。接着，他们提出一个基于质数的策略来确定Prime S，并使用同余方程求解最小满足条件的s[n]。最后，给出了问题的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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题意

定义 $s [n]$ 为集合 $\{1, 2, 3, \cdots, n\}$ 中不包含连续数字的子集个数。如果 $s [n]$ 满足对于任意的 $i\epsilon[1, n)$ 都有 $g c d (s [i], s [n]) = 1$ 则称 $s [n]$ 是Prime S，其中 $s [1]$ 是Prime S。现问不小于第k小的Prime S且能被x整除的 $s [n]$ 最小是多少，输出 $\frac{s[n]}{x}\mod m$ 。

题解

首先可以dp出s[n]的值，方程为 $d p [i] [0] = d p [i - 1] [0] + d p [i - 1] [1]$ $d p [i] [1] = d p [i - 1] [0]$
其中 $s [i] = d p [i] [0] + d p [i] [1]$
然后列举s[i]发现是第3项开始的斐波那契数列即 $s [n] = f i b [n + 2]$ 。
然后按照题意暴力得到Prime S，打表发现如果s[n]是Prime S则一定有n+2为质数或者4。
因此我们可以列出一个“质数”数列 $3,4,5,7,11,13,\cdots$ ，则第k个Prime S为p[k]，因此从p[k]项开始枚举斐波那契数列判断是否被x整除即可。
然后利用同余方程 $\frac{a}{b}\mod m = \frac{a\mod m\times x}{x}$ 输出答案。

代码

#include <bits/stdc++.h>
const int N = 17000005;
long long mod;
struct matrix {
    int n, m;
    std::vector<std::vector<long long> > mat;
    matrix(int _n, int _m) : n(_n), m(_m) {
        std::vector<long long> tmp(m);
        for (int i = 0; i < n; ++i) mat.push_back(tmp);
    }
    matrix& operator*=(const matrix& t) {
        matrix res(n, t.m);
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = 0; j < t.m; ++j) {
                for (int k = 0; k < m; ++k) {
                    res.mat[i][j] += (mat[i][k] * t.mat[k][j]);
                    res.mat[i][j] %= mod;
                }
            }
        }
        *this = res;
        return *this;
    }
} a = matrix(2, 2), res = matrix(2, 2);

std::vector<long long> prime;
bool isprime[N];
void init(int MAX = N) {
    isprime[1] = true;
    memset(isprime, false, sizeof(isprime));
    for (int i = 2; i < MAX; ++i) {
        if (!isprime[i]) prime.push_back(i);
        for (int j = 0; j < (int)prime.size() && i * prime[j] < MAX; ++j) {
            isprime[i * prime[j]] = true;
        }
    }
    prime.insert(prime.begin() + 2, 4);
}

long long ksm(long long k) {
    res.mat[0][0] = res.mat[1][1] = 1;
    res.mat[0][1] = res.mat[1][0] = 0;
    a.mat[0][0] = a.mat[0][1] = a.mat[1][0] = 1;
    a.mat[1][1] = 0;
    while (k) {
        if (k & 1) res *= a;
        a *= a;
        k >>= 1;
    }
    return (res.mat[0][0] + res.mat[0][1]) % mod;
}

int main() {
    init();
    int t;
    int k, x, m;
    long long pos;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        scanf("%d%d%d", &k, &x, &m);
        pos = prime[k];
        mod = x;
        while (ksm(pos - 2) != 0) pos++;
        mod = m * x;
        printf("%lld\n", ksm(pos - 2) / x);
    }
    return 0;
}