数论——斐波那契练习题二——斐波那契变式

题面

题目描述

定义一个数列：
$f(0)=a,f(1)=b,f(n)=f(n−1)+f(n−2)f(0) = a, f(1) = b, f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)$
$f(0)=a,f(1)=b,f(n)=f(n−1)+f(n−2)$
其中$a,b$均为正整数，$n \geq 2$问有多少种$(a,b)$，使得$k$ 出现在这个数列里，且不是前两项。由于答案可能很大，你只需要输出答案模$10^9 + 7$的结果即可。

输入输出格式

输入格式：
一行一个整数 $k$
输出格式：
一行一个数，表示答案模
$10^9 + 7$ 的结果。

输入输出样例

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19260817
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34166325
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1000000000
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773877569

说明

$1 \leq k \leq 10^9$

分析

题目大概是长成ax+by=k的形式，由于f[0]=a,f[1]=b,f[i]=f[i-1]+f[i-2] 所以可以看出在f[i]中a和b的系数是斐波那契中的相邻两项。
那么我么可以从斐波那契下手，枚举斐波那契相邻的两项，利用exgcd求出解的个数。此时依旧是对ax+by=k这个式子进行求解，此时的a等于f[i-1],b等于f[i],可以求出最小的正整数x，此时的y为最大值。可以此时的y满足
设此时的x为x0，则满足x=x0+tb,同理满足y=y0+ta，显然t+1就是此时的答案贡献，那么用最大的y除以a向上取整即可（注意之所以要向上取整而不是t+1，是因为避免y=0的情况，还有注意特判x0=0的情况）

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
ll f[100],cnt,k;
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
} 
int main()
{
    scanf("%lld",&k);
    f[1]=f[2]=1;cnt=2;
    for(int i=3;;i++)
    {
        f[i]=f[i-1]+f[i-2];
        if(f[i]>1e9) break;
        ++cnt;
    }
    ll ans=0;
    for(int i=2;i<=cnt;++i)
    {
        ll a,b,x,y;
        a=f[i-1];b=f[i];
        exgcd(a,b,x,y);x=x*k;y=y*k;
        x=(x%b+b)%b;
        if(x==0) x=b;
        y=(k-a*x)/b;
        if(y<0) continue;
        ans=(ans+(y-1)/a+1)%mod;
    }
    printf("%lld",ans);
}