数论之斐波那契

最新推荐文章于 2024-05-01 20:33:39 发布

luer9

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分类专栏：迷之数论斐波那契数列等等变形

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_40046426/article/details/81530136

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斐波那契数列等等变形

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本文详细介绍了斐波那契数列的概念及其数学定义，包括递推公式和通项公式的推导，并提供了使用递归及矩阵快速幂法求解斐波那契数的具体实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“ 兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）

递推公式

斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：:F(n)=F(n-1)+F(n-2)

显然这是一个线性递推数列。

通项公式

因为存在无理数，所以这个公式不是特别精确。

https://blog.youkuaiyun.com/qq_40046426/article/details/81484007这个题就运用了上面的公式

(如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。)

注：此时

递归模板。

int fib(int n)
{
    if(n==1||n==2) return 1;
    return fib(n-1)+fib(n-2);
}

利用矩阵乘法来求斐波那契。

不停地利用这个式子迭代右边的列向量，会得到下面的式子：

这样，问题就转化为如何计算这个矩阵的n次方了，可以采用快速幂的方法。快速幂_百度百科是利用结合律快速计算幂次的方法。比如我要计算 $2^{20}$ ，我们知道 $2^{20} = 2^{16} * 2^{4}$ ，而 $2^{2}$ 可以通过 $2^{1} \times 2^{1}$ 来计算， $2^{4}$ 而可以通过 $2^{2}\times 2^{2}$ 计算，以此类推。通过这种方法，可以在O（lbn）的时间里计算出一个数的n次幂。

矩阵乘法模板。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <queue>
#include <stack>
using namespace std;
const int MOD = 10000;
struct matrix//定义矩阵结构体
{
    int m[2][2];
}ans, base;
matrix multi(matrix a, matrix b)//定义矩阵乘法
{
    matrix tmp;
    for(int i = 0; i < 2; ++i)
    {
        for(int j = 0; j < 2; ++j)
        {
            tmp.m[i][j] = 0;
            for(int k = 0; k < 2; ++k)
                tmp.m[i][j] = (tmp.m[i][j] + a.m[i][k] * b.m[k][j]) % MOD;
        }
    }
    return tmp;
}
int fast_mod(int n)  // 求矩阵 base 的  n 次幂
{
    base.m[0][0] = base.m[0][1] = base.m[1][0] = 1;
    base.m[1][1] = 0;
    ans.m[0][0] = ans.m[1][1] = 1;  // ans 初始化为单位矩阵
    ans.m[0][1] = ans.m[1][0] = 0;
    while(n)
    {
        if(n & 1)  //实现 ans *= t; 其中要先把 ans赋值给 tmp，然后用 ans = tmp * t
            ans = multi(ans, base);
 
        base = multi(base, base);
        n >>= 1;
    }
    return ans.m[0][1];
}
 
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d", &n) && n != -1)
    {
        printf("%d\n", fast_mod(n));
    }
    return 0;
}
/*
0 0
9 34
99999999  626
1000000000  6875
-1
*/