有限体积法（4）——一维扩散方程数值求解（第二类边界条件）

物理模型：

有对流换热的细棒导热（如下图），固定端为恒温边界，自由端为绝热边界，棒的侧壁面与环境之间存在对流换热。固定端温度$T_B=100℃$，环境温度$T_{\infty }=20℃$。

假设棒的截面内温度均匀，问题简化为一维导热模型，其控制方程为
$$\frac{d}{dx}\left(kA\frac{dT}{dx}\right)-hP(T-T_{\infty })=0\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中 $h$ 是对流换热系数，$P$ 是侧面周长， $k$ 是棒的导热系数。方程左边第二项在这里相当于源项。

该方程的解析解为，
$$\frac{T-T_{\infty }}{T_B-T_{\infty }}=\frac{cosh[n(L-x)]}{cosh(nL)}\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中$n^2=hP/(kA)$， $A$是截面积， $L$是棒的长度。$L=1m，n^2=25/m^2$, $kA$是常数。

方程离散

网格单元数为5，因为$kA$是常数，所以方程式$(1)$可以简化为，
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{dT}{dx}\right)-n^2(T-T_{\infty })=0\text{\hspace{1em}(3)}$$
其中，$n^2=hP/(kA)$。

按一维扩散方程的离散推导中方程式$(4)$的形式，这里相当于
$$\begin{array}{rl}\Gamma =& 1\\ & \\ S=& n^2(T-T_{\infty })\end{array}\}\text{\hspace{1em}(4)}$$

则方程离散为，
[ ( A d T d x ) e − ( A d T d x ) w ] − [ n 2 ( T P − T ∞ ) A δ x ] = 0 (5) \left[ \left( A\frac{dT}{dx} \right)_e - \left( A\frac{dT}{dx} \right)_w \right] - [n^2 (T_P-T_\infin)A\delta x] = 0 \tag{5}