关于gcd的一些证明思路。

最新推荐文章于 2021-04-16 14:35:26 发布
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分类专栏： 数学
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_41863129/article/details/89391136
本文深入探讨了最大公约数（gcd）的性质，特别是gcd(n,i)=gcd(n,n-i)的证明过程，这一性质对于理解数学中关于gcd的概念至关重要。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

我们都知道gcd(n,i)=gcd(n,n-i)对于所有的0<=i<=n都是成立的。那么我们来证明一下这个结论：

  首先假设gcd(n,i)=k,gcd(n,n-i)=m,那么：

              \\gcd(n,i)=k--->n\%k=0\&\&i\%k=0\\ \\also: gcdc(n,n-i)=m-->n\%m=0\&\&(n-i)\%m=0\\ so:n=x*m\quad (n-i)=y*m-->i=(x-y)*m\\ i\%m=0.

所以我们可以得出：gcd(n,i)=gcd(n,n-i)。同理，我们也可以得出：gcd(n,i)=gcd(n,n+i)

其实我们用这个思路可以证明很多关于gcd的东西。后边遇到再更新

 

【gcd/辗转相除法】gcd/辗转相除法的证明
ZJL_OIJR的博客
02-04 1351
gcd/辗转相除法的证明 此文仅供蒟蒻参考，dalao请我也不记得是左上角还是右上角了。 前言 这不是小学奥数吗？ 数学上来先打表，数论只会gcd。 上面几句话一直打击我学习数论的信心。 不仅只会gcd，连gcd都不会证明，可见我有多菜了。 直到受到某位dalao的指教，我终于证明了gcd。 dalao曰：”数论，数字之理论也。有术曰辗转相除，欲证此术，必先知反对称矣。
最大公因数GCD的分配律、结合律 - 证明及其简单应用
西界的博客
09-20 3489
最大公因数GCD的分配律、结合律 - 证明及其简单应用背景简介分配律 Distributive Law结合律 Associative Law简单应用（完成题目证明） 背景简介 在学习数论相关知识的时候，对最大公因数计算相关规律有些不熟悉，在做题的时候一些看似明显的定理或规律没有办法进行明确的应用。在做一道证明题的过程中，思路受到math.stackexchange上相关问题及讨论的启发，在此记录证明的思路以及关于最大公因数GCD的两个重要规律。 题目为：证明如果a,b,c是互素且非零的整数，那么(ab,c
关于GCD的证明
qq_33859479的博客
10-15 1124
关于GCD欧几里得算法的证明过程： 证明一： 有两个数 a b 设这两个数的gcd(a,b) = g 那么假设其中比较大的数 a a = k*b +r; 那么当我们对a求对b的最大公约数时 如果没有余数r 那么gcd 就等于b 那么现在有r了 所以gcd 的取值就取决于r了 因为现在我们来看r r一定是个小于b的值 所以a和b的GCD问题就变成了我们现在求得就是r和b的GCD
gcd 证明
shqshq110110123的专栏
03-20 942
gcd(m,n) = gcd(n,m mod n);证明 : 令 k = gcd(m , n) ， j = gcd(n, m mod n); 1 因为 m = pn + (m mod n),p为任意正整数 而 j | n 且 j | ( m mod n), 所以 j 是 m 和 n 的公约数 又因为 k是m,n的最大公约数 所以 j <= k . 2
gcd算法证明&&递归终止条件证明
capsnever的博客
04-16 440
gcd算法需要注意两件事情 1.算法的正确性。 答：证明如上 2.算法的终止条件的证明（为什么终止条件一定是b==0?） 答：
《算法导论》学习笔记——GCD定理的证明
蒟蒻柴犬首相的博客
02-04 634
GCD定理 GCD定理是欧几里得算法的灵魂。欧几里得算法就是我们以前说的“辗转相除法”。 GCD定理： gcd(a,b)=gcd(b,a%b)'>gcd(a,b)=gcd(b,a%b)gcd(a,b)=gcd(b,a%b)gcd(a,b)=gcd(b,a\%b) 证明 我们的证明就是要证明上面两者相互能整除。 设gcd(a,b)=d'>gcd(a,b)=dgcd(a,b)
GCD详解
02-05 1653
什么是GCD？ Grand Central Dispatch或者GCD，是一套低层API，提供了一种新的方法来进行并发程序编写。从基本功能上讲，GCD有点像 NSOperationQueue，他们都允许程序将任务切分为多个单一任务然后提交至工作队列来并发地或者串行地执行。GCD比之 NSOpertionQueue更底层更高效，并且它不是Cocoa框架的一部分。 除了代码的平行执行能力，
gcd exgcd 算法及模板整理（一）
Bright_Stars
02-05 1158
一、gcd铺垫 1.求最大公因数的方法简介 一般有穷举法（暴力1-n过一遍）、更相减损法、辗转相除法， 而后两种本质上是一种方法。 辗转相除法也即欧几里得算法，示例如下： 假如需要求 1997 和 615 两个正整数的最大公约数,用欧几里德算法，是这样进行的： 1997 / 615 = 3 (余 152) 615 / 152 = 4(余7) 152 / 7 = 21(余5) 7 / 5 = 1 (...
GCD 最大公约数 辗转相除法 欧几里得算法
TianHQ
07-25 233
GCD： 辗转相除法又叫欧几里得算法,是欧几里得最先提出来的.辗转相除法的实现,是基于下面的原理(在这里用(a,b)表示a和b的最大公因数)： 　　(a,b)=(a,ka+b),其中a、b、k都为自然数.………………① 　　也就是说,两个数的最大公约数,将其中一个数加到另一个数上,得到的新数,其公约数不变,比如(4,6)=(4+6,6)=(4,6+2×4)=2.要证明这个原理很容易：如果p是a和ka+b的公约数,p整除a,也能整除ka+b.那么就必定要整除b,所以p又是a和b的公约数,从而证明他们的最大公
洛谷P5435 【模板】快速 GCD
qq_38253946的博客
08-01 883
对于gcdgcdgcd的询问，设值域为VVV，询问次数为QQQ,有一种奇奇怪怪的时空复杂度都是O(V+Q)O(V+Q)O(V+Q)，即O(V)——O(1)O(V)——O(1)O(V)——O(1)的做法。 题面 解题思路： 把值域内的数xxx都分解成333个都不大于x\sqrt xx​的数相乘(允许出现大于x\sqrt xx​的质数），步骤如下： 处理完所有小于xxx的数 找到xxx最小的质因子p...
辗转相处法证明
rookie_Algo的专栏
07-20 886
原文：http://blog.sina.com.cn/s/blog_6938cd0501010pj1.html 辗转相除法的证明 　　设两数为a、b(b＜a)，求它们最大公约数的步骤如下：用b除a，得a＝bq＋r（0≤r＜b）（q是这个除法的商）。若r=0,则b是a和b的最大公约数。若r≠0,则继续考虑。 　　首先，应该明白的一点是任何 a 和 b 的公约数都是 r
欧几里得（GCD）算法正确性证明，LCM正确性证明
P19777的博客
11-29 1922
欧几里得算法要解决的是求两个数最大公约数的问题。 gcd(a,b) = gcd(b,a%b) 这个算法的过程可以举个例子来展示，如果我要求168和44的最大公约数，用欧几里得算法可以这样求： 168=44*3+32 44=32*1+12 32=12*2+8 12=8*1+4 8=4*2+0 最终这个4就是最大公约数 证明gcd也就是要证明gcd(a,b) = gcd(b,a%b...
证明：当gcd(a, b) = 1,则gcd(a + b, a) = 1
SprintfWater的专栏
04-16 3335
假设： gcd(a, b) = 1 证明：     gcd(a + b,  b)  = 1 反证法： 假设gcd(a + b, b) = k != 1; 则： b = k * r1 a + b =a +  k * r1 = k * R 两边同时除以k a / k + r1 = R 则要使相等，则a 必须整除k, 则 a = k * r2; 所以gcd(a,
关于辗转相除法求gcd的证明
fyc的博客
08-01 547
今晚调半平面交死调不出，不知为什么想到了这个，闲着蛋疼来写一发（其实就是骗访问量） 其实是证明(a,b)=(b%a,a) 假设(a,b)=d,b=ak+r 即(a,ak+r)=d。证(a,r)=d。 因为d|b，d|a，所以d|ak+r 显然有d|r 可以用反证法：设d整除ak且不整除r,但d|ak+r 即ak%d=0,r%d!=0,显然(ak+r)%d!=0。 所以d|r且d|a
证明：gcd(m,n)=gcd(n mod m,m)成立，m,n为正整数，m＞0. 【Euclid算法证明】
DesertHero2013的博客
04-15 6543
--本文证明部分转载自：http://www.cnblogs.com/ider/archive/2010/11/16/gcd_euclid.html 作者： Ider 网上证明如他所说确实多，但他的我读完刚开始也没理解，后来查下其他资料，比较了下，还是他写的最好， 后面文字说明是我写的心得，建议先看他的证明，再结合我最后的思路。不懂得地方就举一个例子，还是好理解的，我觉得我
Codeforces 798C gcd思路题
winycg的博客
04-23 727
Mike has a sequence A = [a1, a2, ..., an] of length n. He considers the sequence B = [b1, b2, ..., bn] beautiful if the gcd of all its elements is bigger than 1, i.e. . Mike wants to change h
欧几里得gcd证明
lb2003
04-16 324
欧几里得算法： ∀a,b∈N,b≠0,gcd(a,b)=gcd(a,mod b)\forall a,b\in N,b\neq0,gcd(a,b)=gcd(a,mod \ b)∀a,b∈N,b̸​=0,gcd(a,b)=gcd(a,mod b) 若a&lt;ba&lt;ba<b，则gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)gcd(a,...
一个关于gcd的等式的证明
dianshu1593的博客
08-25 593
证：$a > b$ 且 $gcd(a,b)=1$，有 $gcd(a^n-b^n, a^m-b^m) = a^{gcd(n, m)} - b^{gcd(n,m)}$. 证明： 假设 $n > m$，$r = n \% m$. 根据辗转相除法， $a^n - b^n = (a^m-b^m)(a^{n-m} + a^{n-2m}b^m + ...+) + a^rb^{n-r...
hdu 4497 GCD and LCM （gcd与lcm的关系）
Jiandong
03-03 771
题目链接：哆啦A梦传送门 题意：给出 gcd(x,y,z)=G, lcm(x,y,z)=L的G，L。找出有多少种可能对(x,y,z)，注意(1,2,3)与（1,3.2)为不同的对。 题解： 参考链接：https://blog.youkuaiyun.com/cnh294141800/article/details/14452893 前要：最大公约数G与最小公倍数L的关系 1，L%G==0。 2，设A...
关于最大公约数的题目 较难一点
最新发布
05-09
<think>嗯，用户想找关于最大公约数的较难算法题目。首先，我需要回顾一下最大公约数（GCD）的基础知识，比如欧几里得算法，这是最常用的方法。不过用户需要的是较难的题目，所以得想一些扩展应用或者结合其他算法的问题。 根据提供的引用，引用[1]提到了辗转相除法，也就是欧几里得算法，用于求多个数的GCD。引用[2]则提到了最大公约数和最小公倍数的关系，这可能可以设计一些涉及LCM的问题。引用[3]提到字节跳动的算法题包括动态规划、图算法等，这提示可能需要将GCD与其他算法结合。引用[4]中的变治法，可能需要变形问题来应用GCD。 那较难的题目可能涉及数学变换、多条件约束或者与其他算法结合。例如，动态规划中的状态转移涉及GCD，或者数论中的问题需要利用GCD的性质。比如，找出数组中最长的子序列，其中每对数的GCD满足特定条件，这样的题目可能结合了子序列和数论，难度较高。 另外，可能需要考虑大数运算或者优化算法效率的问题。例如，处理非常大的数的GCD计算，或者需要预处理某些数据结构来加速查询。比如，多次查询区间GCD，使用线段树或稀疏表来优化。 还要考虑到问题是否有多个步骤，或者需要数学证明。例如，证明某个GCD相关的性质，再基于此设计算法。或者，问题涉及到同余方程、模运算等高级数学概念，结合GCD来解题。 可能还需要参考一些编程竞赛中的难题，比如Codeforces或LeetCode上的困难题目，看看他们如何设计GCD相关的问题。例如，LeetCode上有一道题是找最大子数组的GCD为k，这需要结合子数组和GCD的计算，并且要考虑效率。 另外，数组操作中的问题，如找出所有子数组的GCD并统计满足条件的数量，这样的问题可能时间复杂度较高，需要优化算法，比如利用滑动窗口或者数学性质减少重复计算。 还可以考虑数论中的扩展问题，比如求解多个数的GCD的同时，满足某些约束条件，或者与其他数论函数结合，如欧拉函数等。 总之，较难的GCD题目通常会结合其他算法或复杂数学概念，需要深入理解GCD的性质，并能够灵活应用到不同场景中。接下来需要整理几个这样的题目，并给出简要思路，确保题目难度足够，同时有挑战性。</think>### 最大公约数高阶算法题目精选 以下是结合数论、动态规划、数据结构的高难度最大公约数（GCD）问题，附带核心思路和算法优化方向： --- #### 题目1：区间GCD动态查询 **问题描述** 给定长度为 $n$ 的数组和 $q$ 次查询，每次查询区间 $[l,r]$ 内所有元素的最大公约数。要求预处理后单次查询时间复杂度为 $O(1)$ 或 $O(\log n)$[^4]。 **示例** 输入：`arr = [6,12,8,24,18], queries = [[1,3],[0,4]]` 输出：`[4,6]` **核心思路** - 稀疏表（Sparse Table）预处理区间GCD - 数学性质：区间GCD可重叠分解，即 $gcd(a,b,c) = gcd(gcd(a,b),c)$ **代码框架** ```python import math class SparseTable: def __init__(self, arr): n = len(arr) k = int(math.log2(n)) + 1 self.st = [[0]*n for _ in range(k)] self.st[0] = arr.copy() for j in range(1, k): for i in range(n - (1<<j) +1): self.st[j][i] = math.gcd(self.st[j-1][i], self.st[j-1][i + (1<<(j-1))]) def query(self, l, r): j = int(math.log2(r - l +1)) return math.gcd(self.st[j][l], self.st[j][r - (1<<j)+1]) ``` --- #### 题目2：最长GCD子序列 **问题描述** 给定正整数数组，找出最长的子序列，使得子序列中任意两个不同元素的GCD大于1。输出最长长度。 **示例** 输入：`[4,6,12,3,9]` 输出：`4`（子序列`[4,6,12,9]`的任意两数GCD≥3） **核心思路** - 动态规划 + 因数分解 - 对每个元素分解质因数，维护以不同质因数为终点的最长链 **优化方向** - 预处理质因数分解表加速计算 - 状态转移方程：$dp[p] = \max(dp[p], dp[q]+1)$，其中 $q$ 是当前数的其他质因数 --- #### 题目3：GCD路径计数 **问题描述** 在无向图中，每条边有权值 $w$。定义路径的“GCD值”为路径上所有边权的GCD。求从起点到终点的所有路径中，GCD值的最大值。 **示例** 输入：节点数 $n=3$，边集合 `[[0,1,12],[1,2,18],[0,2,6]]` 输出：`6`（路径0->2的GCD为6） **算法思路** - 反向BFS维护可达路径的GCD集合 - 对每个节点维护字典`{current_gcd: max_path_length}` - 状态转移：$new\_gcd = gcd(current\_gcd, next\_edge\_weight)$ --- #### 题目4：模意义下的GCD重构 **问题描述** 给定数组 $a$ 和模数 $m$，构造新数组 $b$ 使得： 1. $b_i \equiv a_i \ (\text{mod}\ m)$ 2. $gcd(b_1,b_2,...,b_n)$ 最大化 输出可能的最大GCD值。 **示例** 输入：`a = [5,7,9], m = 4` 输出：`3`（构造`b=[1,3,3]`，GCD为3） **数学分析** - 目标转化为求 $gcd(a_1 -k_1m, a_2 -k_2m,...)$ 的最大值 - 等价于求 $gcd(a_1 \mod d, a_2 \mod d,...,d)$ 的最大值，其中 $d$ 为候选因子 --- #### 题目5：动态数组GCD约束 **设计一个数据结构**，支持以下操作： 1. `insert(x)`：插入元素x 2. `delete(x)`：删除元素x（保证存在） 3. `query()`：返回当前集合所有元素的GCD 要求所有操作时间复杂度低于 $O(n)$。 **进阶要求** - 处理重复元素（如多次插入相同数值） **解决方案** - 维护质因数分解频次字典 - 每次更新时维护各质因数的最小指数 - 查询时计算 $\prod p_i^{min\_exp}$ ---
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