关于gcd的一些证明思路。

本文深入探讨了最大公约数(gcd)的性质,特别是gcd(n,i)=gcd(n,n-i)的证明过程,这一性质对于理解数学中关于gcd的概念至关重要。

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我们都知道gcd(n,i)=gcd(n,n-i)对于所有的0<=i<=n都是成立的。那么我们来证明一下这个结论:

  首先假设gcd(n,i)=k,gcd(n,n-i)=m,那么:

              \\gcd(n,i)=k--->n\%k=0\&\&i\%k=0\\ \\also: gcdc(n,n-i)=m-->n\%m=0\&\&(n-i)\%m=0\\ so:n=x*m\quad (n-i)=y*m-->i=(x-y)*m\\ i\%m=0.

所以我们可以得出:gcd(n,i)=gcd(n,n-i)。同理,我们也可以得出:gcd(n,i)=gcd(n,n+i)

其实我们用这个思路可以证明很多关于gcd的东西。后边遇到再更新

 

<think>嗯,用户想找关于最大公约数的较难算法题目。首先,我需要回顾一下最大公约数(GCD)的基础知识,比如欧几里得算法,这是最常用的方法。不过用户需要的是较难的题目,所以得想一些扩展应用或者结合其他算法的问题。 根据提供的引用,引用[1]提到了辗转相除法,也就是欧几里得算法,用于求多个数的GCD。引用[2]则提到了最大公约数和最小公倍数的关系,这可能可以设计一些涉及LCM的问题。引用[3]提到字节跳动的算法题包括动态规划、图算法等,这提示可能需要将GCD与其他算法结合。引用[4]中的变治法,可能需要变形问题来应用GCD。 那较难的题目可能涉及数学变换、多条件约束或者与其他算法结合。例如,动态规划中的状态转移涉及GCD,或者数论中的问题需要利用GCD的性质。比如,找出数组中最长的子序列,其中每对数的GCD满足特定条件,这样的题目可能结合了子序列和数论,难度较高。 另外,可能需要考虑大数运算或者优化算法效率的问题。例如,处理非常大的数的GCD计算,或者需要预处理某些数据结构来加速查询。比如,多次查询区间GCD,使用线段树或稀疏表来优化。 还要考虑到问题是否有多个步骤,或者需要数学证明。例如,证明某个GCD相关的性质,再基于此设计算法。或者,问题涉及到同余方程、模运算等高级数学概念,结合GCD来解题。 可能还需要参考一些编程竞赛中的难题,比如Codeforces或LeetCode上的困难题目,看看他们如何设计GCD相关的问题。例如,LeetCode上有一道题是找最大子数组的GCD为k,这需要结合子数组和GCD的计算,并且要考虑效率。 另外,数组操作中的问题,如找出所有子数组的GCD并统计满足条件的数量,这样的问题可能时间复杂度较高,需要优化算法,比如利用滑动窗口或者数学性质减少重复计算。 还可以考虑数论中的扩展问题,比如求解多个数的GCD的同时,满足某些约束条件,或者与其他数论函数结合,如欧拉函数等。 总之,较难的GCD题目通常会结合其他算法或复杂数学概念,需要深入理解GCD的性质,并能够灵活应用到不同场景中。接下来需要整理几个这样的题目,并给出简要思路,确保题目难度足够,同时有挑战性。</think>### 最大公约数高阶算法题目精选 以下是结合数论、动态规划、数据结构的高难度最大公约数(GCD)问题,附带核心思路和算法优化方向: --- #### 题目1:区间GCD动态查询 **问题描述** 给定长度为 $n$ 的数组和 $q$ 次查询,每次查询区间 $[l,r]$ 内所有元素的最大公约数。要求预处理后单次查询时间复杂度为 $O(1)$ 或 $O(\log n)$[^4]。 **示例** 输入:`arr = [6,12,8,24,18], queries = [[1,3],[0,4]]` 输出:`[4,6]` **核心思路** - 稀疏表(Sparse Table)预处理区间GCD - 数学性质:区间GCD可重叠分解,即 $gcd(a,b,c) = gcd(gcd(a,b),c)$ **代码框架** ```python import math class SparseTable: def __init__(self, arr): n = len(arr) k = int(math.log2(n)) + 1 self.st = [[0]*n for _ in range(k)] self.st[0] = arr.copy() for j in range(1, k): for i in range(n - (1<<j) +1): self.st[j][i] = math.gcd(self.st[j-1][i], self.st[j-1][i + (1<<(j-1))]) def query(self, l, r): j = int(math.log2(r - l +1)) return math.gcd(self.st[j][l], self.st[j][r - (1<<j)+1]) ``` --- #### 题目2:最长GCD子序列 **问题描述** 给定正整数数组,找出最长的子序列,使得子序列中任意两个不同元素的GCD大于1。输出最长长度。 **示例** 输入:`[4,6,12,3,9]` 输出:`4`(子序列`[4,6,12,9]`的任意两数GCD≥3) **核心思路** - 动态规划 + 因数分解 - 对每个元素分解质因数,维护以不同质因数为终点的最长链 **优化方向** - 预处理质因数分解表加速计算 - 状态转移方程:$dp[p] = \max(dp[p], dp[q]+1)$,其中 $q$ 是当前数的其他质因数 --- #### 题目3:GCD路径计数 **问题描述** 在无向图中,每条边有权值 $w$。定义路径的“GCD值”为路径上所有边权的GCD。求从起点到终点的所有路径中,GCD值的最大值。 **示例** 输入:节点数 $n=3$,边集合 `[[0,1,12],[1,2,18],[0,2,6]]` 输出:`6`(路径0->2的GCD为6) **算法思路** - 反向BFS维护可达路径的GCD集合 - 对每个节点维护字典`{current_gcd: max_path_length}` - 状态转移:$new\_gcd = gcd(current\_gcd, next\_edge\_weight)$ --- #### 题目4:模意义下的GCD重构 **问题描述** 给定数组 $a$ 和模数 $m$,构造新数组 $b$ 使得: 1. $b_i \equiv a_i \ (\text{mod}\ m)$ 2. $gcd(b_1,b_2,...,b_n)$ 最大化 输出可能的最大GCD值。 **示例** 输入:`a = [5,7,9], m = 4` 输出:`3`(构造`b=[1,3,3]`,GCD为3) **数学分析** - 目标转化为求 $gcd(a_1 -k_1m, a_2 -k_2m,...)$ 的最大值 - 等价于求 $gcd(a_1 \mod d, a_2 \mod d,...,d)$ 的最大值,其中 $d$ 为候选因子 --- #### 题目5:动态数组GCD约束 **设计一个数据结构**,支持以下操作: 1. `insert(x)`:插入元素x 2. `delete(x)`:删除元素x(保证存在) 3. `query()`:返回当前集合所有元素的GCD 要求所有操作时间复杂度低于 $O(n)$。 **进阶要求** - 处理重复元素(如多次插入相同数值) **解决方案** - 维护质因数分解频次字典 - 每次更新时维护各质因数的最小指数 - 查询时计算 $\prod p_i^{min\_exp}$ ---
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