gcd算法证明&&递归终止条件证明

最新推荐文章于 2025-07-30 09:11:22 发布
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本文探讨了计算最大公因子(GCD)的算法，重点在于算法的正确性和终止条件的证明。算法正确性通过数学逻辑进行阐述，而终止条件的证明基于余数递减原理，指出当a%b等于0时返回b为GCD，否则最终会递归至gcd(c,c-1)，即1，确保了算法的终止。

在这里插入图片描述
gcd算法需要注意两件事情
1.算法的正确性。
答：证明如上

2.算法的终止条件的证明（为什么终止条件一定是b==0?）
答：在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
也可以这么理解：对于两个数字a,b,他们的最大公因子要么是1 （互素），要么大于1，因为余数是越来越小的，所以如果最后a%b == 0 ,那么直接return a%b即可，如果不是，因为这两个数字是固定的，所以最后a%b一定可以到 1(因为余数一定是最大公因数的倍数)，

此时这个就变成了gcd(c,c-1)即为1
所以得证

【gcd/辗转相除法】gcd/辗转相除法的证明
ZJL_OIJR的博客
02-04 1383
gcd/辗转相除法的证明 此文仅供蒟蒻参考，dalao请我也不记得是左上角还是右上角了。 前言 这不是小学奥数吗？ 数学上来先打表，数论只会gcd。 上面几句话一直打击我学习数论的信心。 不仅只会gcd，连gcd都不会证明，可见我有多菜了。 直到受到某位dalao的指教，我终于证明了gcd。 dalao曰：”数论，数字之理论也。有术曰辗转相除，欲证此术，必先知反对称矣。
递归-欧几里得算法
weisili2000_2000的博客
01-30 2512
注：本文核心部分全部转自leader_one的文章，这里表示十分感谢，这里主要记录学习过程供以后复习！ leader_one：https://blog.youkuaiyun.com/leader_one/article/details/75222771 算法描述： 欧几里德算法（Euclidean Algorithm）又称辗转相除法，是指用于计算两个正整数a，b的最大公约数，gcd(a,b )表示a和b的最大...
关于GCD的证明
qq_33859479的博客
10-15 1145
关于GCD欧几里得算法的证明过程： 证明一： 有两个数 a b 设这两个数的gcd(a,b) = g 那么假设其中比较大的数 a a = k*b +r; 那么当我们对a求对b的最大公约数时 如果没有余数r 那么gcd 就等于b 那么现在有r了 所以gcd 的取值就取决于r了 因为现在我们来看r r一定是个小于b的值 所以a和b的GCD问题就变成了我们现在求得就是r和b的GCD
欧几里得（GCD）算法正确性证明，LCM正确性证明
P19777的博客
11-29 1989
欧几里得算法要解决的是求两个数最大公约数的问题。 gcd(a,b) = gcd(b,a%b) 这个算法的过程可以举个例子来展示，如果我要求168和44的最大公约数，用欧几里得算法可以这样求： 168=44*3+32 44=32*1+12 32=12*2+8 12=8*1+4 8=4*2+0 最终这个4就是最大公约数 证明gcd也就是要证明gcd(a,b) = gcd(b,a%b...
gcd 证明
shqshq110110123的专栏
03-20 966
gcd(m,n) = gcd(n,m mod n);证明 : 令 k = gcd(m , n) ， j = gcd(n, m mod n); 1 因为 m = pn + (m mod n),p为任意正整数 而 j | n 且 j | ( m mod n), 所以 j 是 m 和 n 的公约数 又因为 k是m,n的最大公约数 所以 j <= k . 2
最大公约数(gcd):Euclid算法证明
邱孝兵的博客
11-16 1351
1个常识： 如果 a≥b 并且 b≤a，那么 a=b.   2个前提： 1）只在非负整数范围内讨论两个数 m 和 n 的最大公约数，即 m, n ∈ N. 2）0可以被任何数整除，但是0不能整除任何数，即 ∀x(x|0) and ∀x(0| x).   1个引理： 假设 k|a, k|b，则对任意的 x,y  ∈ Z， k|(xa+yb)均成
递归算法习题
04-18
在解决递归算法问题时，重要的是要确保每一步递归操作都能够简化问题规模，且最终能够达到一个递归终止条件。对于每个具体问题，都需要明确递归函数的参数和返回值，确保每次递归调用都是向终止条件靠近，避免产生...
25、二进制递归最大公约数算法
最新发布
tomato的博客
07-30 112
本文介绍了一种基于广义二进制除法（GB除法）的二进制递归最大公约数（GCD）算法，作为Knuth-Schönhage算法的改进变体。该算法避免了传统算法中复杂的‘修正程序’，在描述和证明上更为简洁，同时保持了相同的准线性时间复杂度。文章详细阐述了GB除法的原理、GB欧几里得算法的实现、递归算法的设计及其正确性证明，并讨论了算法在不同输入规模下的优化策略。实验表明，在GNU MP中的实现相比Magma和Mathematica中的经典算法，在大整数输入下快3到4倍，具有显著的性能优势。
Python基于递归算法求最小公倍数和最大公约数示例
09-20
此外，理解递归算法的关键在于理解基础情况（Base Case）和递归情况（Recursive Case），确保递归函数在某一点会终止，并且每次递归调用都向基础情况靠近。在上述例子中，GCD的基础情况是当a等于b时，而LCM的基础...
[HDU 5780] gcd (公式证明)
ymzqwq的博客
08-10 570
做出这题你需要推出一个重要的式子：gcd(xa−1,xb−1)=xgcd(a,b)−1gcd(xa−1,xb−1)=xgcd(a,b)−1gcd(x^a-1,x^b-1)=x^{gcd(a,b)}-1 我这证明可能不算严谨吧。。。。 反正OI不需要证明，只需要感性理解。然而我个人觉得感性理解反而比证明重要啊，证明不就是几个式子套来套去，过几天就忘光了。 不妨设a&amp;gt;ba&amp;gt;ba&gt;b，...
《算法导论》学习笔记——GCD定理的证明
蒟蒻柴犬首相的博客
02-04 651
GCD定理 GCD定理是欧几里得算法的灵魂。欧几里得算法就是我们以前说的“辗转相除法”。 GCD定理： gcd(a,b)=gcd(b,a%b)'>gcd(a,b)=gcd(b,a%b)gcd(a,b)=gcd(b,a%b)gcd(a,b)=gcd(b,a\%b) 证明 我们的证明就是要证明上面两者相互能整除。 设gcd(a,b)=d'>gcd(a,b)=dgcd(a,b)
关于gcd的一些证明思路。
YG爱木木
04-19 481
我们都知道gcd(n,i)=gcd(n,n-i)对于所有的0<=i<=n都是成立的。那么我们来证明一下这个结论： 首先假设gcd(n,i)=k,gcd(n,n-i)=m,那么： 所以我们可以得出：gcd(n,i)=gcd(n,n-i)。同理，我们也可以得出：gcd(n,i)=gcd(n,n+i) 其实我们用这个思路可以证明很多关于gcd的东西。...
关于辗转相除法求gcd的证明
fyc的博客
08-01 566
今晚调半平面交死调不出，不知为什么想到了这个，闲着蛋疼来写一发（其实就是骗访问量） 其实是证明(a,b)=(b%a,a) 假设(a,b)=d,b=ak+r 即(a,ak+r)=d。证(a,r)=d。 因为d|b，d|a，所以d|ak+r 显然有d|r 可以用反证法：设d整除ak且不整除r,但d|ak+r 即ak%d=0,r%d!=0,显然(ak+r)%d!=0。 所以d|r且d|a
扩展欧几里得
01-21 454
转自：http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html 欧几里德算法 欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。 基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则...
证明：当gcd(a, b) = 1,则gcd(a + b, a) = 1
SprintfWater的专栏
04-16 3371
假设： gcd(a, b) = 1 证明：     gcd(a + b,  b)  = 1 反证法： 假设gcd(a + b, b) = k != 1; 则： b = k * r1 a + b =a +  k * r1 = k * R 两边同时除以k a / k + r1 = R 则要使相等，则a 必须整除k, 则 a = k * r2; 所以gcd(a,
证明：gcd(m,n)=gcd(n mod m,m)成立，m,n为正整数，m＞0. 【Euclid算法证明】
DesertHero2013的博客
04-15 6598
--本文证明部分转载自：http://www.cnblogs.com/ider/archive/2010/11/16/gcd_euclid.html 作者： Ider 网上证明如他所说确实多，但他的我读完刚开始也没理解，后来查下其他资料，比较了下，还是他写的最好， 后面文字说明是我写的心得，建议先看他的证明，再结合我最后的思路。不懂得地方就举一个例子，还是好理解的，我觉得我
欧几里得算法求最大公因数gcd原理证明
chaoguo1234的专栏
06-28 2283
要证明欧几里得算法原理，首先需要证明下面两个定理(其中a，b都是整数)： 1 如果c可以整除a，同时c也可以整除b，那么c就可以整除au + bv(u，v是任意的整数)。 这个定理的证明很简单，$\frac{au + bv}{c} = u\frac{a}{c} + v\frac{b}{c}$，因为c可以整除a、b，那么可以得到c可以整除au + bv。 2 如果a = qb + r，...
递归函数停止的条件
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weixin_43527495的博客
12-05 2万+
递归的终止条件一般定义在递归函数内部，在递归调用前要做一个条件判断，根据判断的结果选择是继续调用自身，还是return；返回终止递归。 终止的条件： 1、判断递归的次数是否达到某一限定值 2、判断运算的结果是否达到某个范围等，根据设计的目的来选择 ...
辗转相处法证明
rookie_Algo的专栏
07-20 906
原文：http://blog.sina.com.cn/s/blog_6938cd0501010pj1.html 辗转相除法的证明 　　设两数为a、b(b＜a)，求它们最大公约数的步骤如下：用b除a，得a＝bq＋r（0≤r＜b）（q是这个除法的商）。若r=0,则b是a和b的最大公约数。若r≠0,则继续考虑。 　　首先，应该明白的一点是任何 a 和 b 的公约数都是 r
C++算法练习：蒙特卡洛与递归实现
在C++中，递归函数需要具备两个基本要素：递归边界（即终止条件）和递归关系式（即如何将问题分解为更小的子问题）。例如，经典的斐波那契数列、阶乘计算、汉诺塔问题等都可以通过递归简洁地实现。然而，递归虽然...
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