【高等数值分析】多项式插值

1. 预备理论

假设有离散的 { x 0 , x 1 , . . . , x n } \{x_0,x_1,...,x_n\} {x0​,x1​,...,xn​} 插值节点，以及对应的函数值 { f ( x 0 ) , . . . . , f ( x n ) } \{f(x_0),....,f(x_n)\} {f(x0​),....,f(xn​)}，希望用函数 $\varphi (x)$ 来近似 $f(x)$，使其满足插值条件 $\varphi (x_i)=f(x_i),i=0,...,n$。一般选择多项式插值函数 $p(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n\in {\mathcal{P}}_n$。

根据插值条件 $f(x_i)=\varphi (x_i)$ 列出来 $n+1$ 个等式，再由 Hilbert 阵的非奇异性质，可以证明插值函数 $p(x)$ 存在且唯一。但同时也由于 Hilbert 的病态性，使得这种直接暴力求解的方式不好使。后面给出几种更好用的方法。

2. Lagrange插值

采用了类似“正交基”的想法，如果有 $n+1$ 个插值节点，就先给出 $n+1$ 个“正交基函数”，然后再用线性组合即可得到插值函数。

选择基底函数为
$$l_i(x)=\prod _{k=0,k\ne i}^n\frac{x-x_k}{x_i-x_k}=\{\begin{array}{ll}1,& x=x_i\\ 0,& x=x_k,k\ne i\end{array}$$
对应构造的插值函数为 $L_n(x)={\sum }_{i=0}^{n}f(x_i)l_i(x)$，插值余项
$$R_n(x)\triangleq f(x)-L_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{w}_{n+1}(x)$$
其中 $\xi (x)\in [a,b]$，$w_{n+1}(x)={\prod }_{k=0}^n(x-x_k)$。

插值余项的证明：$\forall x\in [a,b]$，将其看作新增插值节点，那么我们构造一个新的Lagrange插值函数
$$l_{n+1}(t)=R_n(x)\frac{w_{n+1}(t)}{w_{n+1}(x)}=\{\begin{array}{ll}{R}_n(x),& t=x\\ 0,& t=x_0,...,x_n\end{array}$$
那么我们取 $L_{n+1}(t)=L_n(t)+l_{n+1}(t)$，可以验证其满足 L n + 1 ( x i ) = f ( x i ) , t ∈ { x , x 0 , . . . , x n } L_{n+1}(x_i)=f(x_i), t\in \{x,x_0,...,x_n\} Ln+1​(xi​)=f(xi​),t∈{x,x0​,...,xn​}，也就是说他是新的插值函数，插值节点为 { x , x 0 , . . . , x n } \{x,x_0,...,x_n\} {x,x0​,...,xn​}。此时插值余项为 $R_{n+1}(t)=f(t)-L_{n+1}(t)=R_n(t)-l_{n+1}(t)$，其满足 R n + 1 ( t ) = 0 , t ∈ { x , x 0 , . . . , x n } R_{n+1}(t)=0,t\in \{x,x_0,...,x_n\} Rn+1​(t)=0,t∈{x,x0​,...,xn​}，反复应用 Rolle 定理，即可得到存在 $\xi \in [a,b]$ 使得 $R_{n+1}^{(n+1)}(\xi )=f^{(n+1)}(\xi )-\frac{(n+1)!}{w_{n+1}(x)}{R}_n(x)$，证毕。

3. Newton插值

3.1 Newton插值及其余项

前面Lagrange插值方法存在的一个问题在于，如果新增一个插值节点，所有的基底函数 $l_i(x)$ 都要重新计算。Newton插值就是要克服这个问题，其思路在前面“插值余项的证明”过程中已经显现了，也就是每次新增一个插值节点，多项式的阶数会 +1，那么我们就增加一个 $n+1$ 次多项式来弥补。具体方法如下。
$$N_n(x)=N_{n-1}(x)+a_n{w}_n(x)$$
其中 $N_{n-1}(x)$ 为 { x 0 , . . . , x n − 1 } \{x_0,...,x_{n-1}\} {x0​,...,xn−1​} 的Newton插值函数，现在新增节点 $x_n$，其插值函数 $N_n(x)$ 只需要添加一个 $n$ 阶多项式 $a_n{w}_n(x)$，由 $N_n(x_n)=f(x_n)$ 可以推出 $a_n=\frac{f(x_n)-N_{n-1}(x_n)}{w_n(x_n)}$，记为均差 $a_n=f[x_0,...,x_n]$（实际上就是 $x^{n+1}$ 的系数，因此与节点的排列次序无关）。

由此得到Newton插值方法
$$N_n(x)=\sum _{k=0}^{n}f[x_0,...,x_k]w_k(x)$$
实际计算过程中均差可以递归计算
$$f[x_0,...,x_n]=\frac{f[x_1,...,x_n]-f[x_0,...,x_{n-1}]}{x_n-x_0}$$
证明：取 $P_{n-1}(x)\in {\mathcal{P}}_{n-1}$ 满足 $P_{n-1}(x_i)=f(x_i),i=0,1,...,n-1$， $Q_{n-1}(x)\in {\mathcal{P}}_{n-1}$ 满足 $Q_{n-1}(x_i)=f(x_i),i=1,2,...,n$。构造 $P_n(x)=\frac{x-x_0}{x_n-x_0}{Q}_{n-1}(x)+\frac{x_n-x}{x_n-x_0}{P}_{n-1}(x)(★)$，可以验证满足 $P_n(x_i)=f(x_i),i=0,...,n$。考虑 $(★)$ 式等号两侧 $x^n$ 的系数，即可得证。

插值余项为
$$R_n(x)=f[x_0,...,x_n,x]\prod _{i=0}^n(x-x_i)$$
证明：类似Lagrange中的方法，同样是将 $x$ 看作一个新的插值节点即可。证毕。

3.2 高阶项

插值条件中除了直接给出函数值 $f(x_i)$，有时候也会给出 $f^{\prime }(x_i)$ 或者更高阶的导数值，那么此时的均差该如何计算呢？对于高阶项，如果有 $x_0\le x_1\le \cdots \le x_n$，那么均差的计算方法为
$$f[x_0,...,x_n]=\{\begin{array}{ll}\frac{f[x_1,...,x_n]-f[x_0,...,x_{n-1}]}{x_n-x_0},& x_n\ne x_0\\ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!},& x_n=x_0\end{array}$$
在解题过程中，主要还是用列表法，可以参考数值分析相关的教材。

4. Hermite插值

Hermite插值方法就是在Lagrange方法的基础上，再利用上插值节点的（高阶）导数值，用更少的插值节点获得更高阶的插值多项式。例如构造基函数 ${\alpha }_i,{\beta }_i\in {\mathcal{P}}_{2n+1},i=0,1,...,n$ 满足
$$\{\begin{array}{ll}{\alpha }_i(x_j)={\delta }_{ij},& {\alpha }_i^{\prime }(x_j)=0\\ {\beta }_i(x_j)=0,& {\beta }_i^{\prime }(x_j)={\delta }_{ij}\end{array}$$
构造的多项式即为
$$H_{2n+1}(x)=\sum _{i=0}^n[f_i{\alpha }_i(x)+f^{\prime }(x_i){\beta }_i(x)]$$
具体细节略。

5. 样条插值

前面的方法都会出现 Runge 现象，也就是由于多项式本身的性质，插值函数阶数越高，边缘处振荡越严重，误差较大。样条插值的思路就是分段插值，并且只利用低阶多项式（如一阶、二阶、三阶）。其中一阶就是分段线性插值，用的比较多的还是三次样条插值。

三次样条插值的总体思路就是利用插值节点的函数值、一阶导、二阶导列出方程组来求解系数。不过为了使方程适定，需要再添加两个约束条件（增加两个方程），一般可选的有

• 固支边界条件：$S_3^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0),S_3^{\prime }(x_n)=f^{\prime }(x_n)$；
• 自然边界条件：$S_3^{\prime \prime }(x_0)=S_3^{\prime \prime }(x_n)=0$；
• 周期边界条件：$S_3(x_0)=S_3(x_n)=f_0,S_3^{\prime }(x_0)=S_3^{\prime }(x_n),S_3^{\prime \prime }(x_0)=S_3^{\prime \prime }(x_n)$。

具体细节略。

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前面的一些博客链接如下
泛函分析专栏
高等数值分析专栏
【高等数值分析】多项式插值
【高等数值分析】函数逼近
【高等数值分析】数值积分和数值微分
【高等数值分析】常微分方程数值解
【高等数值分析】Krylov子空间方法