UnityShader——基础篇之学习Shader所需的数学基础——下

裁剪空间

  顶点接下来要从观察空间转换到裁剪空间（也被称为齐次裁剪空间） 中，这个用于变换的矩阵叫做裁剪矩阵，也被称为投影矩阵

  裁剪空间的目标是能够方便地对渲染图元进行裁剪：完全位于这块空间内部的图元将会被保留，完全位于这块空间外部的图元将会被剔除，而与这块空间边界相交的图元就会被裁剪。这块空间是由视锥体来决定

  视锥体指的是空间中的一块区域，这块区域决定了摄像机可以看到的空间。视锥体由六个平面鲍威尔成，这些平面也被称为裁剪平面。视锥体有两种类型，这涉及两种投影类型：一种是正交投影，一种是透视投影。下图显示了从同一位置、同一角度渲染同一个场景的两种摄像机的渲染结果

  从图中可以发现，在透视投影中，地板上的平行线并不会保持平行，离摄像机越近网格越大，离摄像机越远网格越小。而在正交投影中，所有的网格大小都一样，而且平行线会一直保持平行。可以注意到，透视投影模拟了人眼看世界的方式，而正交投影则完全保留了物体的距离和角度。因此，在追求真实感的3D游戏中往往会使用透视投影，而在一些2D游戏或渲染小地图等其他HUD元素时会使用正交投影

  在视锥体的六块裁剪平面中，有两块裁剪平面比较特殊，它们分别被称为近剪裁平面和远剪裁平面。它们决定了摄像机可以看到的深度范围。正交投影和透视投影的视锥体如下图所示：

  由上图可以看出，透视投影的视锥体是一个金字塔型，侧面的四个裁剪平面将会在摄像机处相交。它更符合视锥体这个词语。正交投影的视锥体是一个长方体。前文提到，需求是根据视锥体围成的区域对图元进行裁剪，但是，如果直接使用视锥体定义的空间来进行裁剪，那么不同的视锥体就需要不同的处理过程，而且对于透视投影的视锥体来说，想要判断一个顶点是否处于一个金字塔内部是比较麻烦的。因此，需要一种更加通用、方便和整洁的方式来进行裁剪的工作，这种方式就是通过一个投影矩阵把顶点转换到一个裁剪空间中。

  投影矩阵有两个目的：

• 首先是为投影做准备。虽然投影矩阵的名称包含了投影二字，但是它并没有进行真正的投影工作，而是在为投影做准备。真正的投影发生在后面的齐次除法过程中。而经过投影矩阵的变换后，顶点的$w$分量将会具有特殊的意义
• 其次是对$x,y,z$分量进行缩放，前文说过直接使用视锥体的六个裁剪平面来进行裁剪会比较麻烦。而经过投影矩阵的缩放后，可以直接使用$w$分量作为一个范围值，如果$x,y,z$分量都位于这个范围内，就说明该顶点位于裁剪空间内

透视投影

  视锥体的意义在于定义了场景中的一块三维空间。所有位于这块空间内的物体将会被渲染，否则就会被剔除或裁剪。前文说到，这块区域由六个裁剪平面定义，在Unity中，它们由Camera 组件中的参数和 Game 试图的横纵比共同决定，如下图所示：

  由上图可以看出，通过 Camera 组建的 Field of View（简称FOV）属性来改变视锥体垂直方向的张开角度，而 Clipping Planes 中的 Near 和 Far 参数可以控制视锥体的近裁剪平面和远裁剪平面的远近。这样可以求出视锥体近裁剪平面和远裁剪平面的高度，也就是：

$$\begin{gathered} nearClipPlaneHeight=2\cdot Near\cdot \tan \frac{FOV}{2} \\ farClipPlaneHeight=2\cdot Far\cdot \tan \frac{FOV}{2} \end{gathered}$$

  现在还缺少缺乏横向的信息。这可以通过摄像机的横纵比得到。在Unity中，一个摄像机的横纵比由Game视图得到横纵比和Viewport Rect中的W和H属性共同决定（实际上，Unity允许在脚本里通过Camera.aspect进行更改，但这里不做讨论）。假设，当前摄像机的横纵比为Aspect，定义为：

$$Aspect=\frac{nearClipPlaneWidth}{neraClipPlaneHeight}$$
$$AsPect=\frac{farClipPlaneWidth}{farClipPlaneHHeight}$$

  现在可以根据已知的Near、Far、FOV和Aspect的值来确定透视投影的投影矩阵。如下：

$${\mathbf{M}}_{frustum}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{cot\frac{FOV}{2}}{Aspect}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{cot\frac{FOV}{2}}{2}& 0& 0\\ 0& 0& -\frac{Far+Near}{Far-Near}& -\frac{2\cdot Near\cdot Far}{Far-Near}\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]$$

  需要注意的是，这里的投影矩阵是建立在Unity对坐标系的假定上面的，也就是说，针对的是观察空间和右手坐标系，使用列矩阵在矩阵右侧进行相乘，且变换后$z$分量范围将在$[-w,w]$之间的情况。而在类似Direct X这样的图形接口中，它们希望变换后$z$分量范围将在$[0,w]$之间，因此就需要对上面的透视矩阵进行一个更改。这不在本文的谈论范围之内

  而一个顶点和上述投影矩阵相乘后，可以由观察空间变换到裁剪空间中，结果如下：

P c l i p = M f r u s t u m P v i e w = [ c o t F O V 2 A s p e c t 0 0 0 0 c o t F O V 2 2 0 0 0 0 − F a r + N e a r F a r − N e a r − 2 ⋅ N e a r ⋅ F a r F a r − N e a r 0 0 − 1 0 ] [ x y z 1 ] = [ x c o t F O V 2