题目链接:https://codeforces.com/problemset/problem/803/F
题目大意:
我们称一段非空序列为互质序列当且仅当gcd(a1, a2, … , ak) = 1。现在给你一个长度为 n 的数组 a, 要你找出a的互质序列的总数。数目可能很大,答案模1e9 + 7。如果两个元素下标不同而数字相同,算是不同的元素。
解题思路:
本题目与poj 3904 Sky Code类似,可以参考那题的做法。题目要求我们求出互质序列个数,我们不妨求出非互质序列个数。既然是计数,很容易想到容斥定理。先对数组每一个数进行质因数分解,再用状态压缩求出这个数的所有约数(也可以用sqrt(n)的求出约数),记录约数的质因数个数及更新这个数的每个约数的出现次数。最后根据约数的质因数个数进行容斥即可。若约数div出现次数为n,它带来的贡献的绝对值为2^n - 1.
代码如下:
# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn = 1e5 + 5;
const ll mod = 1e9 + 7;
ll base[maxn], divs[100]; //base预处理2^n - 1, divs记录x的质因数
ll num[maxn], cnt[maxn]; //num记录以i为因数的数的个数, cnt记录i的质因数个数
ll n, x;
void init(){
base[0] = 1;
for(ll i = 1; i < maxn; ++i) base[i] = 2 * base[i-1] % mod;
for(ll i = 1; i < maxn; ++i) base[i] = (base[i] - 1 + mod) % mod;
base[0] = 0;
}
void divide(ll x){
ll tot = 0;
for(ll i = 2; i*i <= x; ++i){
if(x % i == 0){
divs[tot++] = i;
while(x % i == 0) x /= i;
}
}
if(x > 1) divs[tot++] = x;
for(ll i = 1; i < (1<<tot); ++i){ //也可以用sqrt(n)得到所有约数
ll tmp = 0, pdt = 1;
for(ll j = 0; j < tot; ++j){
if(i & (1<<j)){
pdt *= divs[j];
tmp++;
}
}
num[pdt]++;
cnt[pdt] = tmp; //cnt记录pdt约数
}
}
int main(){
std::ios::sync_with_stdio(false);
init();
while(cin >> n){
for(ll i = 0; i < n; ++i){
cin >> x;
divide(x);
}
ll ans = base[n];
for(ll i = 2;i < maxn; i++) //容斥
if(cnt[i] & 1)
ans = (ans - base[num[i]] + mod) % mod;
else
ans = (ans + base[num[i]] + mod) % mod;
cout << ans << endl;
memset(num, 0, sizeof(num));
memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
}
return 0;
}