Educational Codeforces Round 20 F. Coprime Subsequences（容斥）

最新推荐文章于 2021-03-03 01:08:43 发布

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本文介绍了解决Codeforces 803F问题的方法，通过质因数分解和状态压缩求出数组中互质序列的总数，使用容斥原理和预处理技巧高效解决大规模数据集的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：https://codeforces.com/problemset/problem/803/F
题目大意：
我们称一段非空序列为互质序列当且仅当gcd(a1, a2, … , ak) = 1。现在给你一个长度为 n 的数组 a，要你找出a的互质序列的总数。数目可能很大，答案模1e9 + 7。如果两个元素下标不同而数字相同，算是不同的元素。

解题思路：
本题目与poj 3904 Sky Code类似，可以参考那题的做法。题目要求我们求出互质序列个数，我们不妨求出非互质序列个数。既然是计数，很容易想到容斥定理。先对数组每一个数进行质因数分解，再用状态压缩求出这个数的所有约数(也可以用sqrt(n)的求出约数)，记录约数的质因数个数及更新这个数的每个约数的出现次数。最后根据约数的质因数个数进行容斥即可。若约数div出现次数为n，它带来的贡献的绝对值为2^n - 1.

代码如下：

# include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
const ll maxn = 1e5 + 5;
const ll mod = 1e9 + 7;
ll base[maxn], divs[100];  //base预处理2^n - 1, divs记录x的质因数
ll num[maxn], cnt[maxn];   //num记录以i为因数的数的个数, cnt记录i的质因数个数
ll n, x;

void init(){
    base[0] = 1;
    for(ll i = 1; i < maxn; ++i)   base[i] = 2 * base[i-1] % mod;
    for(ll i = 1; i < maxn; ++i)   base[i] = (base[i] - 1 + mod) % mod;
    base[0] = 0;
}

void divide(ll x){
    ll tot = 0;
    for(ll i = 2; i*i <= x; ++i){
        if(x % i == 0){
            divs[tot++] = i;
            while(x % i == 0)   x /= i;
        }
    }
    if(x > 1)   divs[tot++] = x;
    for(ll i = 1; i < (1<<tot); ++i){  //也可以用sqrt(n)得到所有约数
        ll tmp = 0, pdt = 1;
        for(ll j = 0; j < tot; ++j){
            if(i & (1<<j)){
                pdt *= divs[j];
                tmp++;
            }
        }
        num[pdt]++;
        cnt[pdt] = tmp; //cnt记录pdt约数
    }
}

int main(){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    init();
    while(cin >> n){
        for(ll i = 0; i < n; ++i){
            cin >> x;
            divide(x);
        }
        ll ans = base[n];
        for(ll i = 2;i < maxn; i++)   //容斥
            if(cnt[i] & 1)
                ans = (ans - base[num[i]] + mod) % mod;
            else
                ans = (ans + base[num[i]] + mod) % mod;
        cout << ans << endl;
        memset(num, 0, sizeof(num));
        memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
    }

    return 0;
}