CodeForces Gym 101741 J. Subsequence Sum Queries

题目链接：https://codeforces.com/gym/101741/problem/J

题目大意：

       你有一个数组a含n个整数，还有一个模数m，你要处理q询问，每个询问给你一段区间[l, r]，问你这段区间中有多少个子序列，使得子序列之和模m等于零。注意，空集也算子序列。答案模1e9 + 7。

解题思路：

       针对一次询问，我们很容易能得到一个状态转移方程，令dp[i][j] 为区间[x, i](起点未知)内 子序列之和模m等于j 的方案数，则有

dp[i][j] += dp[i][j] + dp[i-1][j] + dp[i-1][(j-a[i]+m) %m]。问题是如果对每次询问都跑一边这个类似01背包的东西，妥妥超时。所以我们想着能不能用分治做。如果我们可以得到[l, mid]的从右往左计算的方案数和[mid+1, r]从左往右计算的方案数，那么如果询问的区间在[l, r]之内且横跨mid，令查询区间为[x, y]，答案将为(dp1[x][0] * dp2[y][0]) + sigma(0<i<m) dp1[x][i]*dp[y][m-i]。如果查询不横跨mid，照这样分治下去即可。注意分治不处理单点情况，要特判。

代码如下：

# include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + 7;
const ll maxn = 2e5 + 5;
ll lv[maxn][21], rv[maxn][21];  //当然也可以只用一个数组
ll ans[maxn];
ll q[maxn][2];
ll a[maxn];
ll n, m, qn;
vector <ll> id;

void divide(ll l, ll r, vector<ll> id){
    ll mid = (l + r) / 2;

    for(ll i = mid+1; i >= l; --i)
    for(ll j = 0; j < m; ++j)
        lv[i][j] = 0;
    lv[mid+1][0] = 1;

    for(ll i = mid; i <= r; ++i)
    for(ll j = 0; j < m; ++j)
        rv[i][j] = 0;
    rv[mid][0] = 1;

    for(ll i = mid; i >= l; --i)  //lv范围是[l, mid]
    for(ll j = m-1; j >= 0; --j)
        lv[i][j] = (lv[i][j] + lv[i+1][j]) % mod + lv[i+1][(j-a[i]+m) %m] % mod;

    for(ll i = mid+1; i <= r; ++i)  //rv范围是[mid+1, r]
    for(ll j = m-1; j >= 0; --j)
        rv[i][j] = (rv[i][j] + rv[i-1][j]) % mod + rv[i-1][(j-a[i]+m) %m] % mod;

    vector <ll> id_l, id_r;
    for(ll i = 0; i < id.size(); ++i){
        ll l = q[id[i]][0], r = q[id[i]][1], _id = id[i];  //注意这里的l，r是询问区间的，不是函数形参
        if(l <= mid && r > mid){
            ans[_id] = (lv[l][0] * rv[r][0]) % mod;
            for(ll j = 1; j < m; ++j){
                ans[_id] += lv[l][j] * rv[r][m-j];
                ans[_id] %= mod;
            }
        }
        else if(r <= mid)   id_l.push_back(_id);
        else    id_r.push_back(_id);
    }
    if(id_l.size() && l < mid)      divide(l, mid, id_l);
    if(id_r.size() && r > mid+1)    divide(mid+1, r, id_r);
    //如果区间[l,r]只有两个点就没必要分治下去了
}

int main(){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    while(cin >> n >> m){
        for(ll i = 1; i <= n; ++i){
            cin >> a[i];
            a[i] %= m;
        }

        cin >> qn;
        for(ll i = 1; i <= qn; ++i){
            cin >> q[i][0] >> q[i][1];
            if(q[i][0] == q[i][1]){
                if(a[ q[i][0] ] > 0)   ans[i] = 1;
                else    ans[i] = 2;
            } else {
                id.push_back(i);
            }
        }
        divide(1, n, id);

        for(ll i = 1; i <= qn; ++i)
            cout << ans[i] << endl;
    }

    return 0;
}