数论继续学习6---数论倒数，又称逆元

数论继续学习6---数论倒数，又称逆元

数论倒数，又称逆元（因为我说习惯逆元了，下面我都说逆元）

数论中的倒数是有特别的意义滴

先来引入求余概念 

(a +  b) % p = (a%p +  b%p) %p  （对）

(a  -  b) % p = (a%p  -  b%p) %p  （对）

(a  *  b) % p = (a%p *  b%p) %p  （对）

(a  /  b) % p = (a%p  /  b%p) %p  （错）

 

为什么除法错的

证明是对的难，证明错的只要举一个反例

(100/50)%20 = 2       ≠      (100%20) / (50%20) %20 = 0

 

对于一些题目，我们必须在中间过程中进行求余，否则数字太大，电脑存不下，那如果这个算式中出现除法，我们是不是对这个算式就无法计算了呢？

答案当然是 NO (>o<)

这时就需要逆元了

 

我们知道

如果 a*x = 1；

那么 x 是 a 的倒数， x = 1/a；

但是a如果不是1，那么x就是小数

那数论中，大部分情况都有求余，所以现在问题变了

a*x  = 1 (mod p)

那么x一定等于1/a吗

不一定

所以这时候，我们就把x看成a的倒数，只不过加了一个求余条件，所以x叫做：    a关于p的逆元

 

比如2 * 3 % 5 = 1，那么3就是2关于5的逆元，或者说2和3关于5互为逆元

这里3的效果是不是跟1/2的效果一样，所以才叫数论倒数（逆元）

 

a的逆元，我们用inv(a)来表示

 

那么(a  /  b) % p = (a * inv(b) ) % p = (a % p * inv(b) % p) % p

这样就把除法，完全转换为乘法了 (。・ω・)，乘法超容易

 

 

 

 

正篇开始

 

逆元怎么求

(注：忘了说，a和p互质，a才有关于p的逆元)

 

方法一：

1.扩展欧几里得。aa^-1≡ 1(mod p)，可以转换为aa^-1 + py = 1，即是扩展欧几里得所能解的ax + by = gcd(a, b)。最常用的解法。

int x, y;
int extgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int gcd = exgcd(b, a % b, x, y);
    int tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - (a/b) * y;
    return gcd;
}

/*
求解ax+by=gcd(a,b)，亦即ax≡1(mod b)。函数返回值是a,b的最大公约数，而x即a的逆元。
注意a, b不能写反了。
*/

方法二：

 

费马曾经说过：不想当数学家的数学家不是好数学家（(￣▽￣)~*我随便说的，别当真）

费马小定理

a^(p-1) ≡1 (mod p)

两边同除以a

a^(p-2) ≡1/a (mod p)

什么(,,• ₃ •,,)，这可是数论，还敢写1/a

应该写a^(p-2) ≡ inv(a) (mod p)

 

所以inv(a) = a^(p-2) (mod p)

这个用快速幂求一下，复杂度O(logn)(ง •̀_•́)ง 

代码如下：

ll pow_mod(ll a, ll b, ll p){ //矩阵快速幂求a^b%p;
    ll ans = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans = (ans*a)%p;
        a = (a*a)%p;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

ll Fermat(ll a, ll p){        //费马求a关于p的逆元
        return pow_mod(a, p-2, p);
}

方法三：

网上看到的一个很厉害的o(n)的递推，求前n个逆元，不知道是怎么推出来的，但是可以简单地证明一下正确性(要求所mod p为素数)。

首先，1的逆元是1，没什么疑问。
假设前i个数的逆元已经求出，那么
i^-1 = (p%i)^-1 * (p - [p/i]) % p。其中[]表示去尾取整。
(p%i)^-1其实就是(p-[p/i]i)^-1，然后我们左右乘以i，
ii^-1 = (p-[p/i]i)^-1 * ((i-1)p + p-[p/i]i) % p，
其实就是ii^-1 = k^-1 * ((i-1)p + k) % p = 0 + 1 = 1，这样就证完了＝。＝

//字体真糟糕。。

int[] inv = new int[MAXN];
inv[1] = 1;
for (int i = 2; i<MAXN; i++)
    inv[i] = inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;

网上有推导

稍后有错误我直接在博客上修改。。。。